八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题同步精练 (新版)新人教版

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1、13.4 课题学习 最短路径问题1.两点的所有连线中,__线段__最短.2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,__垂线段__最短.■易错点睛■如图,A,B在直线l异侧,在直线l上取一点P,使PA+PB最小.【解】连接AB交直线l于P,此时PA+PB最小.【点睛】易模仿课本上的解法而出错.知识点一 应用垂线段最短求最值1.如图,点P是直线a外一点,PB⊥a,A,B,C,D都在直线a上,下列线段中最短的是( B )A.PAB.PBC.PCD.PD2.如图,l为河岸(视为直线),要想开一条沟将河

2、里的水从点A处引到田里去,则应从河边l的何处开口才能使水沟最短,找出点P的位置并说明理由.【解题过程】解:略.3.如图,四边形ABCD中,∠D=∠ACB=90°,CD=2,∠ACD=∠B,E是AB上一动点,求CE的最小值.(导学号:58024201)【解题过程】解:作CF⊥AB于F,则CE的最小值为CF.易证AC平分∠DAB,∴CF=CD=2.知识点二 运用两点之间线段最短求最值4.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),B(4,2),在x轴上取一点P,使点P到点A和点B的距离之和最小,则点

3、P的坐标是( C )A.(-2,0)B.(4,0)C.(2,0)D.(0,0)5.如图,A,B在直线l同侧,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小(保留作图痕迹).【解题过程】解:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,点P即为所求.6.【教材变式】(P86问题1改)如图,A,B在直线l的同侧,在直线l上求一点P,使△PAB的周长最小.【解题过程】解:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,点P即为所求.7.如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题(用直

4、尺画图).(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1;(2)在DE上画出点P,使PB1+PC最小;(3)在DE上画出点Q,使QA+QC最小.【解题过程】解:(1)如题图;(2)如题图;(3)如题图.8.【教材变式】(P86问题2改)如图,要在一条河上架一座桥MN(河的两岸互相平行,桥与河岸垂直),在如下四种方案中,使得E,F两地的路程最短的是( B )EM与河岸垂直EM∥FNE,M,F共线FN与河岸垂直ABCD9.如图,A,B在直线l的同侧,在直线l上求一点P,使

5、

6、PB-PA

7、的值最大.【解题过程】解:连接BA并延长交直线l于P,点P即为所求.10.如图,A,B在直线l的两侧,在直线l上求一点P,使

8、PA-PB

9、的值最大.【解题过程】解:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B并延长交直线l于P,点P即为所求.11.如图,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,OP=10,点M,N分别在OA,OB上,求△PMN周长的最小值.(导学号:58024202)【解题过程】解:分别作点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2,交OA于M,交OB于N,此时△P

10、MN周长最小,周长=P1P2,∴P1P2=OP1=OP2=OP=10.12.【中考改编】(xx·武汉中考改)如图,点A,B分别为∠MON的边上的定点,在∠MON的两边ON,OM上分别找两点P,Q,使得AP+PQ+QB最小(保留作图痕迹,不要求写作法).(导学号:58024203)【解题过程】解:见图.

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