八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题同步精练 （新版）新人教版

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1、13．4　课题学习　最短路径问题1．两点的所有连线中，__线段__最短．2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__垂线段__最短．■易错点睛■如图，A，B在直线l异侧，在直线l上取一点P，使PA＋PB最小．【解】连接AB交直线l于P，此时PA＋PB最小．【点睛】易模仿课本上的解法而出错．知识点一　应用垂线段最短求最值1．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是(　B　)A．PAB．PBC．PCD．PD2．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河

2、里的水从点A处引到田里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出点P的位置并说明理由．【解题过程】解：略．3．如图，四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝2，∠ACD＝∠B，E是AB上一动点，求CE的最小值．(导学号：58024201)【解题过程】解：作CF⊥AB于F，则CE的最小值为CF.易证AC平分∠DAB，∴CF＝CD＝2.知识点二　运用两点之间线段最短求最值4．如图，在平面直角坐标系中，点A(－2,4)，B(4,2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点

3、P的坐标是(　C　)A．(－2,0)B．(4,0)C．(2,0)D．(0,0)5．如图，A，B在直线l同侧，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小(保留作图痕迹)．【解题过程】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求．6．【教材变式】(P86问题1改)如图，A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．【解题过程】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求．7．如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题(用直

4、尺画图)．(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1；(2)在DE上画出点P，使PB1＋PC最小；(3)在DE上画出点Q，使QA＋QC最小．【解题过程】解：(1)如题图；(2)如题图；(3)如题图．8．【教材变式】(P86问题2改)如图，要在一条河上架一座桥MN(河的两岸互相平行，桥与河岸垂直)，在如下四种方案中，使得E，F两地的路程最短的是(　B　)EM与河岸垂直EM∥FNE，M，F共线FN与河岸垂直ABCD9．如图，A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使

5、

6、PB－PA

7、的值最大．【解题过程】解：连接BA并延长交直线l于P，点P即为所求．10．如图，A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使

8、PA－PB

9、的值最大．【解题过程】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交直线l于P，点P即为所求．11．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝10，点M，N分别在OA，OB上，求△PMN周长的最小值．(导学号：58024202)【解题过程】解：分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，此时△P

10、MN周长最小，周长＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝10.12．【中考改编】(xx·武汉中考改)如图，点A，B分别为∠MON的边上的定点，在∠MON的两边ON，OM上分别找两点P，Q，使得AP＋PQ＋QB最小(保留作图痕迹，不要求写作法)．(导学号：58024203)【解题过程】解：见图．