2019-2020年高考数学二轮复习 限时训练14 与数列交汇的综合问题 理

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1、2019-2020年高考数学二轮复习限时训练14与数列交汇的综合问题理1．已知等比数列{an}中，a1＝a，a2＝b，a3＝c，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且cosB＝.(1)求数列{an}的公比q；(2)设集合A＝{x∈N

2、x2<2

3、x

4、}，且a1∈A，求数列{an}的通项公式．解：(1)依题意知b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝×－＝，而＝q2，代入上式得q2＝2或q2＝，∵在三角形ABC中，a，b，c>0，∴q＝或q＝.(2)∵x2<2

5、x

6、，∴x4－4x2<0，即x2(x2

7、－4)<0，∴－20，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1

8、＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，bn＝，则bn＝＝.Tn＝＝<＝.3．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，数列{bn}的前n项和Sn＝n2＋5n，且满足a4＝b14，a6＝b126，令cn＝logan(n∈N*)．(1)求数列{bn}及{cn}的通项公式；(2)设Pn＝cb1＋cb2＋…＋cbn，Qn＝cc1＋cc2＋…＋ccn，试比较Pn与Qn的大小，并说明理由．解：(1)bn＝＝＝2n＋4(n∈N*)．设等比数列{an}的公

9、比为q，由a4＝b14＝32，a6＝b126＝256，得q2＝＝8，即q＝2(负值舍法)．所以an＝a4·qn－4＝32·()3n－12＝()3n－2，所以cn＝logan＝3n－2(n∈N*)．(2)由(1)知，cbn＝3(2n＋4)－2＝6n＋10，所以{ccn}是以1为首项，9为公差的等差数列．所以Pn＝cb1＋cb2＋…＋cbn＝＝3n2＋13n，Qn＝cc1＋cc2＋…＋ccn＝＝n2－n.所以Pn－Qn＝－n(n－11)．故当1≤n≤10时，Pn>Qn；当n＝11时，Pn＝Qn；当n≥12时，P

10、n

11、∴Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n.Tn＝2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，两式相减得Tn＝＋2＋…＋n－n×n＋1，∴Tn＝2－n－1－n×n<2.(3)解：∵f(n)＝n，∴bn＝(9－n)＝(9－n)＝，∴当n≤8时，bn>0；当n＝9时，bn＝0；当n>9时，bn<0.∴当n＝8或9时，Sn取得最大值．