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时间:2019-11-09
《2019-2020年高考数学专题复习导练测 第十二章 第3讲 数学归纳法 理 新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学专题复习导练测第十二章第3讲数学归纳法理新人教A版一、选择题1.利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*)”时,在验证n=1成立时,左边应该是( )A1 B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a3解析当n=1时,左边=1+a+a2,故选C.答案C2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是( ).A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立D.假设n=k(k
2、是正奇数),证明n=k+2命题成立解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.答案 D3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( ).A.B.-C.-D.+解析 ∵当n=k时,左侧=1-+-+…+-,当n=k+1时,左侧=1-+-+…+-+-.答案 C4.对于不等式3、法( ).A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误.答案 D5.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立.答案D6.已知1+2×3+3×32+4+33+4、…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为( ).A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a、b、c解析 ∵等式对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.答案 A二、填空题7.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.解析 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案 8.用数学归纳法证明:++…+=;当推证当n=k+1等式也成立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 .解析当n=k+1时,++…++=+故只需证明+5、=即可.答案+=9.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;4=1+3=2+2=3+1;5=1+4=2+3=3+2=4+1;…;一个整数n所拥有数对为(n-1)对.设1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60,∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,∴第60个数对为(5,7).答案 (5,7)10.在数列{an}中,a1=且6、Sn=n(2n-1)an,通过计算a2,a3,a4,猜想an的表达式是________.解析 当n=2时,a1+a2=6a2,即a2=a1=;当n=3时,a1+a2+a3=15a3,即a3=(a1+a2)=;当n=4时,a1+a2+a3+a4=28a4,即a4=(a1+a2+a3)=.∴a1==,a2==,a3==,a4=,故猜想an=.答案 an=三、解答题11.已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1++7、+…+>1+,则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.12.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.(1)若a1
3、法( ).A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误.答案 D5.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立.答案D6.已知1+2×3+3×32+4+33+
4、…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为( ).A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a、b、c解析 ∵等式对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.答案 A二、填空题7.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.解析 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案 8.用数学归纳法证明:++…+=;当推证当n=k+1等式也成立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 .解析当n=k+1时,++…++=+故只需证明+
5、=即可.答案+=9.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;4=1+3=2+2=3+1;5=1+4=2+3=3+2=4+1;…;一个整数n所拥有数对为(n-1)对.设1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60,∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,∴第60个数对为(5,7).答案 (5,7)10.在数列{an}中,a1=且
6、Sn=n(2n-1)an,通过计算a2,a3,a4,猜想an的表达式是________.解析 当n=2时,a1+a2=6a2,即a2=a1=;当n=3时,a1+a2+a3=15a3,即a3=(a1+a2)=;当n=4时,a1+a2+a3+a4=28a4,即a4=(a1+a2+a3)=.∴a1==,a2==,a3==,a4=,故猜想an=.答案 an=三、解答题11.已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1++
7、+…+>1+,则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.12.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.(1)若a1
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