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1、第1期电荷对导体球的静电感应问题的讨论电荷对导体球的静电感应问题的讨论梁兵(右江民族师范专科学校物理系广西百色533000)摘要导体球表面的感应电荷分布情况。分三点来进行应用静电场的基本规律及静电平衡条件,讨论关键词感应电荷;静电平衡;电场强度;感应电荷面密度;迭加原理中图分类号:O441文献标识码:A文章编号:1003-7551(2000)01-0033-041点电荷在接地导体球外如图1,半径为R的接地导体球外,有一带+q电量的点电荷,位于离球心为d(>>R)
2、处,球面上的感应电荷如何分布呢?关于接地导体球面感应电荷分布的求法,可用镜象法来求。球面上的感应电荷对球外空间电势分布的贡献,可用球内一个假想电荷q来代替,此点电荷称为导体球面感应电荷的象电荷。根据对称性,q的位置在点电荷+q与导体球心的连线上。设q所在点到球心的距离为,此电荷对球外空间场的分布的贡献与球面上的感应电荷的贡献是相同的。由于导体球接地,又是等位体,因此,球面上任一点的电势为零,此电势由+q与q共同激发。问题是球面上的电荷密度如何分布呢?为解决这一问题,需求出导体表面的电场分布。图1图2如图2,选取适当的q和,
3、使得原来的点电荷+q和象电荷q在球面上任一点产生的电势符合边界条件,即V=0。选球面上任一点P,则在该点处有:qqqqV=+q=+=0r1r2d2+R2-2RdcosR2+2-2Rcos问题化为能否寻到两个参量q和使上式对于所有皆成立。为解决此问题,先将上式两边平方,然后改写成22222222q(R+)-2qRcos=q(R+d)-2qdRcos可以看出选择q和使上式对于所有都成立是可能的,上式成立的充要条件为222222q(R+)=q(d+R)22q=qd由此解出,再代回上式即求
4、得符合要求的解为Rq=-qd2R=d再利用迭加原理求导体表面电场分布。由于处于静电平衡的导体,其表面的场强E垂直于导体该点表面,因此,导体球表面任一点P处的场强为qqE=e1n+E2n=E1cos(180-)+E2cos=-2+2cos(1)40r140r2222222d-r1-R由d=r1+R-2Rr1cos(180-)可得:cos=2Rr1222222r2+R-由=r2+R-2Rr2cos可得:cos=22Rr22根据图2由余弦定理得:r1=d+R-2Rdcos
5、广西物理第21卷qqqr1dR再由V=0即+=0得:=-=r2=r1r1r2r2qRd22q(d-R)将r2、cos、cos及r1的表达式代入(1)并化简得:E=-340Rr11根据静电场的基本规律,处于静电平衡的导体表面上一点的场强为E=,其中1为导体表面的电荷0面密度。2222q(d-R)q(d-R)1比较E=-3与E=两式,可得到导体球表面感应电荷的密度为:1=-3=-40Rr104Rr122q(d-R)2234R(d+R-2Rdcos)由此可
6、见,接地导体球表面的感应电荷面密度与表面各点的位置即角有关。角越小的位置1值越大;角越大的位置1值越小。处于静电平衡的导体,净电荷只分布在导体的表面,此题中,感应电荷沿+q与球心的连线对称分布,因此,接地导体球所带电荷的总量为2222q(d-R)q(d-R)1R222-Q1=1cos=-32Rsimd=(d+R-2Rdcos)20=-q=q04Rr12dd可见,接地导体球所带总电量的值等于其镜象电荷q。另外,由高斯定理可知,收敛于球面上的电通量为-q,因此q等于球面上的总感应电荷,它是由于
7、受电荷+q的电场吸引而从接地处传到导体球上的。2点电荷在绝缘导体球外如图3,如果导体球绝缘,并且原来不带电,则当导体球放在点电荷+q的电场中时,球面上感应出等量的正负电荷,球外空间的电场由点电荷+q及球面上的感应正负电荷共同产生。那么,球面上的感应电荷如何分布呢?静电平衡时,导体就仍是等势体,球面上所带电荷总量为零。在这一问题里,可以采用迭加原理来解决。由1的讨论可知,当球面上感应的负电荷由球内的象电荷q代替时,点电荷+q与q在球面上共同产生的电势为零。而当导体球绝缘时,在静电平衡条件下图3,球体仍为一等势体,球面仍为一等势面,但
8、电势不为零。此时感应电荷的贡献,除了负电荷根据上面的讨论可由球内的象q代替外,还应有一个感应正电荷的象-q,为了使球面保持等势,根据高斯定理,这个正电荷的象-q的位置必须处在球心。根据高斯定理,面电荷
