初等数论第一章节：整数的可除性

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1、一、整除的概念带余数除法二、最大公因数与辗转相除法第一章整数的可除性三、整除的进一步性质四、质数算术基本定理五、取整函数及其在数论中的一个应用第一节整除的概念带余数除法2、整除的基本定理定理1（传递性）：ab，bcac定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数3、带余数除法带余数除法的应用举例例1证明形如3n-1的数不是平方数。例2、任意给出的5个整数中，必有3个数之和被3整除。第二节最大公因数与辗转相除法2、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论3、下面先讨论两个非负整数的最大公因数定理

2、2、设b是任一正整数，则（i)0与b的公因数就是b的因数，反之，b的因数也就是0与b的公因数。(ii)(0,b)=b4、定理3设a,b,c是三个不全为零的整数，且a=bq+c其中q是非零整数，则a,b与b,c有相同的公因数，因而(a,b)=(b,c)5、下面要介绍一个计算最大公约数的算法——辗转相除法，又称Euclid算法。它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。定义下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。说明：（1）利用辗转相除法可以求两个整数的最大公因数6、最大公因数的两个性质对于两个以

3、上整数的最大公因数问题，不妨设本节最后介绍另外一种求两个整数最大公因数的方法，先给出下面几个结果：即当a与b是正整数时，只要使用被2除的除法运算和减法运算就可以计算出(a,b)例1、求（12345,678）解：（12345,678）=（12345，339）=（12006,339）=（6003,339）=（5664,339）=（177,339）=（177,162）=（177，81）=（96,81）=（3,81）=3所以，命题得证。第三节整除的进一步性质及最小公倍数例用辗转相除法求(125,17)，以及x，y，

4、使得125x17y=(125,17)。解做辗转相除法：则对于两个以上整数的最小公倍数问题，不妨设注：多项式的带余除法类似于整数的带余除法第四节质（素）数算术基本定理一、质（素）数1、定义一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，就叫做质数（或素数）；否则就叫合数。2、与素数相关的性质定理注：利用第三节推论2.2证明。证：必要性显然。对于一个给定的整数，我们根据上述定理不仅可以判别它是否是素数，且还可以找出所有不大于它的素数把1划去，剩下第一个数是2,2是素数。从2起划去它后面所有2的倍数，剩下的第一

5、个数是3，它不是2的倍所以它是素数。依次，当我们把所有的不大于的素数。这种方法是希腊时代幼拉脱斯展纳发明的，好像用筛子筛出素数一样，称幼拉脱斯展纳筛法。数的素性检验方法问题在近几年得到了飞速的发展,若用计算机编成程序,对于10位数,几乎瞬间即可完成,对于一个20位数,则需要2个小时,对于一个50位数就需要一百亿年,令人吃惊的是,要检验一个一百位数,需要的时间就猛增到10^36年.到了1980年,这种困难的情况得到了改观,阿德曼(Adleman),鲁梅利(Rumely),科恩(Cohen),和伦斯特拉(Len

6、stra)研究出一种非常复杂的过去,要检验一个数是否是素数，最简单方法是试除法，检验一个20位数只消10秒钟,对于一个50位数用15秒钟,100位数用40秒钟,如果要他检验一个1000位数,只要用一个星期也就够了.但是大部分的素性检验法都不能分解出因数来,只能回答一个数是否是素数.技巧,现在以他们的名字的首字母命名的ARCL检验法定理3、素数的个数是无穷的。注：2000多年前，古希腊数学家欧几里得（前330-前275），著有《几何原本》，他在此书中率先证明了素数的无限性，这个证明一直被当作数学证明的典范，受

7、到历代数学家的推崇，因为这一定理及其证明既简洁、优美而不失深刻。其证明思路如下：证明:假设正整数中只有有限个质数，设为关于素数的个数，有著名的素数定理：下面列举的数字也可以说明定理的真实性。素数定理是古典素数分布的理论核心，这个定理大约是在1798年高斯与勒让德作为猜想提出的。之后许多学者都做过深入的研究，但都没有成功。1896年，法国数学家哈达马及比利时数学家德.瓦利-普斯因同时独立地证明了它，他们是用黎曼zata函数获得解决的。1949年，挪威数学家赛尔伯格与匈牙利数学家爱尔特希第一次给出不用很多函数论

8、知识，也可以说是一个初等的证明。他们的证明是依靠一个不等式，但是这个所谓的初等证明也是非常复杂的。1950年，赛尔伯格还因为这个证明获得了菲尔茨奖。下面介绍与素数有关的某些问题1、费马数：费马在1640年设计了一个公式，给出一些素数。然而他大错特错了！只有五个素数被发现是遵从于这个公式的，它们是3,5,17,257和65537,分别对应于n=0,1,2,3,42、费马数与尺规作图的联系：尺规作图是指用没有刻度的直