计算机语言与程序设计 (6)

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1、计算机程序设计基础第六讲递归1递归算法在可计算性理论中占有重要地位，它是算法设计的有力工具，对于拓展编程思路非常有用。就递归算法而言并不涉及高深数学知识，只不过初学者要建立起递归概念不十分容易。我们先从一个最简单的例子导入。递归及其实现用递归算法求n!定义：函数fact(n)=n!fact(n-1)=(n-1)!则有fact(n)=nfact(n-1)已知fact(1)=12为了表述得直观清晰，我们定义两个结点：或结点与与结点。图示的直观性与思维助力。1、或结点A为“或结点”，A依不同条件会有两种不同的取值B或C。结点用表示。3如果有多于2种取值，可用下图：条件为Z1,Z2,…,Zn，取

2、值为B或C,…或G42、与结点与结点要涂黑，相关联的B与C之间要用弧线连起来。A为与结点，A的最终取值为C结点的值，但为了求得C的值，得先求出B结点的值，C是B的函数。5仍以求n!为例画出如下与或图A为或结点；B为直接可解结点，值为1；C为与结点，当n>1时，A的取值即C的值，而C的值即E的值，为了求得E的值，需要先求出D的值。D值fact(n-1)乘以n即为E的值。6与结点可能有多个相关联的点，这时可描述为下图A结点的值最终为D的值，但为了求D需先求B和C。从图上看先求左边的点才能求最右边的点的值，我们约定最右边D点的值就是A结点的值。7下面我们以3！为例来画与或结点图，目的是体会递归

3、的含义。C=1D=2*C=2B=D=2E=3*B=3*2=6A=E=68下面画出了调用和返回的递归示意图9从图可以想象：欲求fact(3)，先要求fact(2)；要求fact(2)先求fact(1)。就象剥一颗圆白菜，从外向里，一层层剥下来，到了菜心，遇到1的阶乘，其值为1，到达了递归的边界。然后再用fact(n)=n*fact(n-1)这个普遍公式，从里向外倒推回去得到fact(n)的值。为了把这个问题说得再透彻一点。我们画了如下的流程图：1011为了形象地描述递归过程，将上图改画成下图12在这个图中“内层”与“外层”有着相同的结构。它们之间“你中有我，我中有你”，呈现相互依存的关系。

4、为了进一步讲清递归的概念，将递归与递推做一比较。仍以求阶乘为例。递推是从已知的初始条件出发，逐次去求所需要的阶乘值。如求3！初始条件fact(1)=1fact(2)=2*fact(1)=2fact(3)=3*fact(2)=613这相当于从菜心“推到”外层。而递归算法的出发点不放在初始条件上，而放在求解的目标上，从所求的未知项出发逐次调用本身的求解过程，直到递归的边界（即初始条件）。就本例而言，读者会认为递归算法可能是多余的，费力而不讨好。但许多实际问题不可能或不容易找到显而易见的递推关系，这时递归算法就表现出了明显的优越性。下面我们将会看到，递归算法比较符合人的思维方式，逻辑性强，可将

5、问题描述得简单扼要，具有良好的可读性，易于理解，许多看来相当复杂，或难以下手的问题，如果能够使用递归算法就会使问题变得易于处理。下面举一个尽人皆知的例子哈诺（Hanoi）塔问题。14故事：相传在古代印度的Bramah庙中，有位僧子整天把三根柱子上的金盘倒来倒去，原来他是想把64个一个比一个小的金盘从一根柱子上移到另一根柱子上去。移动过程中恪守下述规则：每次只允许移动一只盘，且大盘不得落在小盘上面。有人会觉得这很简单，真的动手移盘就会发现，如以每秒移动一只盘子的话，按照上述规则将64只盘子从一个柱子移至另一个柱子上，所需时间约为5800亿年。15怎样编写这种程序？从思路上还是先从最简单的情

6、况分析起，搬一搬看，慢慢理出思路。1、在A柱上只有一只盘子，假定盘号为1，这时只需将该盘从A搬至C，一次完成，记为move1fromAtoC162、在A柱上有二只盘子，1为小盘，2为大盘。第（1）步将1号盘从A移至B，这是为了让2号盘能移动；第（2）步将2号盘从A移至C；第（3）步再将1号盘从B移至C；这三步记为：move1fromAtoB;move2fromAtoC;move3formBtoC;173、在A柱上有3只盘子，从小到大分别为1号，2号，3号第（1）步将1号盘和2号盘视为一个整体；先将二者作为整体从A移至B，给3号盘创造能够一次移至C的机会。这一步记为move(2,A,C,B

7、)意思是将上面的2只盘子作为整体从A借助C移至B。第（2）步将3号盘从A移至C，一次到位。记为move3fromAtoC第（3）步处于B上的作为一个整体的2只盘子，再移至C。这一步记为move(2,B,A,C)意思是将2只盘子作为整体从B借助A移至C。所谓借助是什么意思，等这件事做完了不言自明。18194、从题目的约束条件看，大盘上可以随便摞小盘，相反则不允许。在将1号和2号盘当整体从A移至B的过程中move(2,A,C,B)实际上