第七章第六节

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1、第六节　空间向量及其运算1．空间向量空间中具有______________的量叫做空间向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝______.(2)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝__________.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝____________.大小和方向λbxa＋ybxa＋yb＋zc3．两个向

2、量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝04．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).1．(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？【提示】不一定成立．∵(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，又c

7、与a不一定共线，∴上式不一定成立．2．若a，b是平面α内的两个不共线向量，c＝xa＋yb，则表示c的有向线段与平面α是什么关系？【提示】表示向量c的有向线段与平面α平行或在平面α内．1．(教材改编题)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量p＝a＋b，q＝a－b，那么可以与p、q构成空间另一个基底的向量是`()A．aB．bC．cD．2a【答案】C【答案】B3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.【解析】c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,

8、4,2)，∴(c－a)·(2b)＝0×2＋0×4＋(1－x)×2＝2－2x＝－2，∴x＝2.【答案】24．若三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，则a＝________，b＝________.【答案】32空间向量的线性运算【思路点拨】(1)利用向量的数乘和加减运算化简；(2)结合图形，利用三角形(或平行四边形)法则及数乘运算法则求解．1．选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用表示.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则

9、和公式等，就近表示所需向量．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决．共线向量与共面向量定理的应用空间向量数量积及应用(2)设a＝(x，y，z)，由条件列方程求解x，y，z.从近两年的高考试题看，空间向量的概念及其运算在解答题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考查，主要考查空间向量的坐标运算及数量积的应用，但在解决几何体中向量问题时，运用坐标运算，恰当选取基底是解决问题的关键【答案】B易错提示：(1)本题由于参与运算的向量

10、较多，因为找不到突破口，无从下手，盲目选择而出错．(2)不能正确选择基底，把题目中的向量用基底表示出来．防范措施：(1)掌握几何体中向量问题的一般解法：一是建立坐标系利用坐标运算，二是选取基向量，用基底表示题中向量进行计算．(2)选择题、填空题中也可以用特殊图形计算，本题也可以在正四面体中计算出结果，从而做出选择．2．(2012·济南模拟)如图7－6－3，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．课时知能训练