2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案新人教B版

《2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.1.3　导数的几何意义学习目标核心素养1.理解导数的几何意义.2.会求曲线上在某点处的切线方程．(重点)3.理解曲线上在某点处的切线与过曲线上某点处的切线的区别．(难点)1.在理解导数的几何意义的基础上，提升学生的数学抽象素养.2.在求解曲线上在某点处的切线方程中提升学生的逻辑推理，数学运算素养.导数的几何意义(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x

2、)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考1：是否任何曲线的割线均有斜率？[提示]　不是，当曲线的割线垂直于x轴时，此割线的斜率不存在．思考2：当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？[提示]　kn无限趋近于切线PT的斜率k.1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为(　　)A．4　　　　B．16C．8D．2C　[f′(2)＝＝8.]2．函数y＝－在处的切线方程是(　　)A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x＋4D．y＝2x－4B　[先求

3、y＝－的导数：Δy＝－＋＝，＝，＝＝，即y′＝，所以y＝－在点处的切线斜率为k＝y′

4、＝4.所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4.]3．若函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝，则函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为________．60°　[设倾斜角为θ，则tanθ＝f′(x0)＝，所以θ＝60°.]求切点坐标【例1】　已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[解]　设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x

5、0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.∴＝4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0).(2)求导函数f′(x).(3)求切线的斜

6、率f′(x0).(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.1．若曲线y＝x2＋2ax与直线y＝2x－4相切，求a的值并求切点坐标．[解]　设切点坐标为(x0，y0)．∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2＋2a(x0＋Δx)－x－2ax0＝2x0·Δx＋(Δx)2＋2a·Δx，∴＝＝2x0＋2a＋Δx，＝2x0＋2a，∴f′(x0)＝2x0＋2a，∴2x0＋2a＝2.①又y0＝2x0－4，②y0＝x＋2ax0，③联立①②③消去a，y0得x0＝±2，当x0＝2时a＝

7、－1，切点坐标为(2,0)；当x0＝－2时a＝3，切点坐标为(－2，－8).求切线方程[探究问题]1．曲线的割线与切线有什么关系？[提示]　(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线．(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．2．曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系？[提示]　(1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但

8、函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导．【例2】　已知曲线C：y＝f(x)＝x3.求曲线C上在点(1，f(1))处的切线方程．[思路探究]　→→[解]　∵Δy＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3(Δx)，∴f′(1)＝＝[(Δx)2＋3(Δx)＋3]＝3.又f(1)＝1，∴曲线C上在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.1．(变换条件)本典例曲线方程不变，试求过点P(1,1)与曲线C相切的直线方程．[解]　设切点为P(x0，x)，切线斜率为k＝f′(x0)＝＝＝＝[3x＋3

9、Δx·x0＋(Δx)2]＝3x，故切线方程为y－x＝3x(x－x0)．又点(1,