2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程22.1抛物线及其标准方程学案北师大版选修

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1、2．1　抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(难点)2.会求简单的抛物线的方程．(重点)1．抛物线的定义(1)定义平面内与一个定点F和一条直线l(l不过点F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．(2)焦点定点F叫作抛物线的焦点．(3)准线定直线l叫作抛物线的准线．思考：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？[提示]　不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线标准方程的四种形式图像标准方程焦点坐标准

2、线方程y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝思考：抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？[提示]　焦点到准线的距离．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(　　)(2)二次函数的图像是抛物线．(　　)(3)抛物线的焦点到准线的距离是p.(　　)(4)抛物线的开口方向由标准方程的一次项系数的正负确定．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．平面内到直线x＝－1

3、的距离与到点(－1,0)的距离相等的点的轨迹是(　　)A．抛物线　　　　　B．y轴C．x轴D．直线x＝－1C　[其轨迹是过(－1,0)且垂直于直线x＝－1的直线，故选C.]3．若抛物线x2＝ay的焦点坐标为(0,2)，则实数a的值为________．[解析]　x2＝ay的焦点坐标为，故＝2，a＝8.[答案]　84．抛物线y＝－x2的准线方程是________．[解析]　y＝－x2的标准方程为x2＝－8y，故该抛物线的准线方程为y＝－＝2.[答案]　y＝2由抛物线方程求焦点坐标、准线方程【例1】　已知抛物线方程如下，分别求

4、其焦点和准线方程．(1)y＝6x2；(2)4y2＋7x＝0；(3)x＝2ay2(a≠0)．[解]　(1)将y＝6x2变形得x2＝y，故2p＝，∴p＝，抛物线开口向上．∴焦点坐标是，准线方程为y＝－.(2)将4y2＋7x＝0变形为y2＝－x.∴2p＝，p＝，抛物线开口向左．∴焦点为，准线方程为x＝.(3)将x＝2ay2化为y2＝x.∴焦点坐标为，准线方程为x＝－.1．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p，进而求出p和的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．2．一般地，不论

5、a符号如何，形如y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为F，准线方程均为x＝－；形如x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为F，准线方程为y＝－，而p(指焦点到准线的距离)总是正数．1．(1)抛物线x2＝8y的焦点坐标是(　　)A．(0,2)　　　　　B．(0，－2)C．(4,0)D．(－4,0)(2)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．[解析]　(1)由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.(2)因为

6、抛物线y2＝2px的焦点坐标为，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.[答案]　(1)A　(2)2　x＝－1求抛物线的标准方程【例2】　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．思路探究：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p值和开口方向，如不能确定，应分类讨论．[解]　(1)设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p＞0)，将点(－3,2)代入方程，得2p

7、＝或2p＝，故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则由＝2，得2p＝8.∴抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由＝4，得2p＝16.∴抛物线方程为y2＝16x.故所求的抛物线的方程为x2＝－8y或y2＝16x.求抛物线标准方程的方法：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程.(2)待定系数法，若

8、已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0).2．已知抛物线的焦点与椭圆＋＝1的焦点重合，则抛物线的标准方程为________．[解析]　椭圆