2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线学案新人教B版

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1、2.5　直线与圆锥曲线学习目标核心素养1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点)　通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线

2、的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？[提示]　不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜

3、率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则

4、AB

5、＝

6、x1－x2

7、＝＝

8、y1－y2

9、＝.1．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　)A.　　　B．2　　　C.　　　D．15A　[令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴

10、AB

11、＝＝＝.]2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m＞1　　　　　　　B．m≥1或0＜m＜1C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5D　[直线y＝

12、kx＋1恒过定点(0,1)，当(0,1)在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点．∴≥1，解得m≥1.当m＝5时＋＝1表示圆．故选D.]3．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　)A．4　　　　B．2C．1　　　　D．－2A　[因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a＞2或a＜－2，故只有A符合题意．]直线与圆锥曲线的位置关系[探究问题]　直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？[提示]　可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两

13、交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．【例1】　直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，求m2的值．[思路探究]　联立方程组，消元后利用判别式求解．[解]　由消去y整理得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，由Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝0，得m2＝.1．(改变问法)典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？[解]　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点坐标为M(x，y)，由消去y整理得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，∴x1

14、＋x2＝2x＝－，即x＝－，①∴y1＋y2＝2y＝－＋2，y＝－＋1＝，②由①②得＝－4m，③又点(x，y)在直线y＝mx＋1上，　∴m＝，④由③④得x2＋4y2－4y＝0，∴弦中点的轨迹方程为x2＋4y2－4y＝0.2．(改变问法)典例中若直线与椭圆相交于A，B两点，求弦

15、AB

16、的长．[解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，∴Δ＝16m2－12＞0，解得m＜－或m＞，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝，∴

17、AB

18、＝＝＝＝.直线与圆锥曲线位置关系的

19、判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．弦长问题及中点弦问题【例2】　椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若

20、AB

21、＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．[思路探究]　本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．[解]　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1

22、－y2)＝0.而＝－1，＝kOC＝，代入上式可得b＝a.∵

23、AB

24、＝

25、x2－x1

26、＝2，即(x2－x1)2＝4，其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，又∵(x1＋x2)2－4x1x2＝(x2－x1)2＝4，∴2－4·＝4.将b＝a代入，解得a＝，b＝，∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.法二：由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x