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1、第二章整数规划1．整数规划的基本概念2．分枝定界法解整数规划3．０－１规划4.指派问题的解法第一节概述人们探讨某些线性规划问题，有时必须把全部或部分决策变量限制为整数。这样的线性规划问题，通常称为整数规划。作为线性规划的特殊情况，整数规划也有最小化和最大化之别。此外，整数规划还可以分成纯整数规划和混整数规划。二者的区别在于：前者的决策变量必定全部取整数。而后者的决策变量只是部分取整数。例1某医药公司现有两个制药厂A1和A2，三个销售店B1、B2和B3。公司打算由两个拟建的制药厂A3和A4中选择一个，来兴建新厂。各销售店每周药品需求量见表2-1。各制药厂每周药品产量和每箱
2、药品运费见表2-2。新厂投产后，估计每周的操作费（含折旧费）：A3是100元，A4是120元。在两个拟建的制药厂中，应当选择哪个呢？销售店需求量（箱/周）B150B260B330产量制药厂(箱/周)运资(元/箱)B1B2B3A150323A2701058A3201310A420453表2－1表2－2设：制药厂Ai每周运到销售店Bj的药品为xij箱（i=1,2，3，4；j=1，2，3）；解：建立数学模型两个老厂A1和A2及一个新厂A3和A4每周的总费用为y元。新厂厂址的选择应该确保y达到最小值。于是，y是目标函数，xij、u和v都是决策变量。它们之间的关系可以表述为：y=
3、3x11+2x12+3x13（A1每周的运费）+10x21+5x22+8x23（A2每周的运费）+x31+3x32+10x33（A3每周的运费）+4x41+5x42+3x43（A4每周的运费）+100u（A3每周的操作费）+120v（A4每周的操作费）(1)u和v全是0－1变量：约束条件：x11+x12+x13≤50x21+x22+x23≤70x31+x32+x33≤20ux41+x42+x43≤20vu,v=0,1(2)由A3和A4选择一个来兴建新厂：u+v=1(3)每个制药厂每周运到各销售店的药品不会超过其产量：(4)每个销售店每周药品的需求量能够得到各制药厂的充分
4、供应：（5）药品箱数一定取非负值：xij≥0x11+x21+x31+x41=50x12+x22+x32+x42=60x13+x23+x33+x43=30例1的数学模型为：Miny=3x11+2x12+3x13+10x21+5x22+8x23+x31+3x32+10x33+4x41+5x42+3x43+100u+120vx11+x12+x13≤50x21+x22+x23≤70x31+x32+x33≤20ux41+x42+x43≤20vx11+x21+x31+x41=50x12+x22+x32+x42=60x13+x23+x33+x43=30xij≥0(i=1,2,3,4;
5、j=1,2,3)u,v=0,1本数学模型属于最小化混整数规划例2某医疗器械厂生产A1和A2两种产品。出厂前，每种产品均须经过两道工序：先用机器B1制造，后由机器B2包装。每台产品的利润和加工时间见表2-3。在下周内，机器B1和B2分别可以使用45小时和6小时。问怎样安排下周的生产任务，才能使所获利润最大？解：建立数学模型设：在下周产品A1和A2分别生产x1合和x2合，所获利润为y百元。例2的数学模型为：产品利润（百元/合）加工时间（小时/合）B1B2A1551A2891表2-3最大化纯整数规划其中：“xk´为整数”,称为整数条件。一般地，可把整数规划的数学模型写为：整数
6、规划问题及其数学模型一律简称为整数规划；整数规划删去整数条件之前和之后，分别称为原整数规划和相应线性规划。按照四舍五入的规则，使相应线性规划的最优解整数化，在通常情况下，不能作为原整数规划的最优解。这可以从两个方面来说明：其一、相应线性规划的最优解化整后，已经不是原整数规划的可行解，当然也就不可能是它的最优解。其二、相应线性规划的最优解化整后，虽然是原整数规划的可行解，但是有可能不是它的最优解。例2是最大化纯整数规划，其相应线性规划为：下面求解这个相应线性规划。我们采用图解法。并且最优解是：(x1,x2)=（2.25,3.75）。按照四舍五入的规则，将这个最优解整数化，
7、就得到：(x1,x2)=（2，4）。它对应于点D，而点D却位于可行域R之外，因此,D（2，4）不是例2的可行解。从而，D（2，4）也不可能是例2的最优解。容易断定，点A（0，5）才是例2的最优解。图解法:相应线性规划的可行域R为图中的四边形OABC，5x1+9x2=45x1+x2=6B(2.25,3.75)D(2,4)x2ox19C(6,0)RA最优解A(0,5)整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。一旦遇到仅含两个决策变量的情况，可以采用图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小异，就不再赘述。求解整数规划不宜采用枚举法。第二节分枝定
