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《高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第四章圆与方程第二节直线、圆的位置关系直线与圆的方程的应用1.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:第一步:______________________,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过__________,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.注意:_
2、_____________方法的灵活运用.建立适当的直角坐标系代数运算数形结合思想1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将几何问题转化为代数问题.第二步:用代数运算解决代数问题.第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.2.要灵活运用数形结合的思想方法.对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.题型一数形结合思想方法的应用例1:(1)方程表
3、示的曲线是什么?(2)若方程有解,求实数b的取值范围.解:(1)等价于x2+y2=9(y≥0),∴表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的圆在x轴上方的半圆(包括两个端点).(2)方程有解,即半圆与直线y=x+b有交点(如下图).易求出,当-3≤b≤3时,方程有解.变式训练1若直线与圆x2+y2=1有公共点,则()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1答案:D题型二用坐标法求圆的方程例2:如下图所示,点M是弓形弧的中点,弦
4、OA
5、=8,弓形的高为2m,求此弧所在圆的方程.分析:只需要求圆心坐标及半径即可.解:设圆心坐标为(4,b)
6、,圆的半径为r,那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上解得:b=-3,r2=25.所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建立的坐标系不同,所求得的方程不同.变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM､PN(M,N分别为切点),使得,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.解:以
7、O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知得PM2=2PN2,因为圆的半径为1,所以:PO21-1=2(PO22-1),设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.题型三与圆有关的综合问题例3:已知△AOB中,
8、OB
9、=3,
10、OA
11、=4,
12、AB
13、=5,点P是△ABO内切圆上一点,求以
14、PA
15、､
16、PB
17、､
18、PO
19、为直径的三个圆面积之和的最大值与最小
20、值.分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求
21、PA
22、2+
23、PB
24、2+
25、PO
26、2的最值.由于P是△ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先从△ABO内切圆的方程入手.解:如下图,建立直角坐标系,使A､B､O三点的坐标分别为A(4,0)､B(0,3)､O(0,0).易求得△ABO的内切点半径r=1,圆心(1,1).故内切圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化简为x2+y2-2x-2y+1=0,①设P(x,y),则
27、PA
28、2+
29、PB
30、2+
31、PO
32、2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x
33、-6y+25.②由①可知x2+y2-2y=2x-1,将其代入②有
34、PA
35、2+
36、PB
37、2+
38、PO
39、2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],故
40、PA
41、2+
42、PB
43、2+
44、PO
45、2的最大值为22,最小值为18,三个圆面积之和为∴所求面积的最大值为最小值为规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问题,将几何问题转化为代数问题.变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40km处,
46、如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?解:如图所示:以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐标系,其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为即4x+
