学习《结构力学》三弯矩方程

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1、学习《结构力学》的三弯矩方程式§9-1、荷载作用下连续梁的计算三弯矩方程式多跨连续梁的超静定次数等于其各中间支座数目。图9-3中，b图所示多跨简支梁为基本结构，以各中间支座弯矩Mn-1、Mn、Mn+1……等为多余未知力来求解。根据基本结构上每个中间支座处左、右两侧面的相对转角应等于零的位移条件，可建立与多余未知力的数目同样多的典型方程。下面以支座n处的位移条件为例，写出其典型方程。由于在此基本结构中，每个单位弯矩图的范围只限于该未知力左、右的两跨（见图9-3），因此每个单位弯矩图就只与左、右两个相邻的单位弯矩图相互垂叠，于是由图乘法可知，在支座n的典型方程中，除δnn-1，δnn，δnn

2、+1外，其余各项系数均为零。这样，此典型方程就简化为：6δnn-1Mn-1+δnnMn+δnn+1Mn+1+Δnp=0………………（1）这表明，不论多余未知力的数目有多少，每个典型方程中最多只包含三个多余未知力。由图乘法可得：公式中：和代表跨度和上Mp图的面积。，为把跨的Mp图的面积当作简支梁的假象荷载时，该跨右支座产生的虚反力（图9-4，a）。，为把跨的Mp图的面积当作简支梁的假象荷载时，该跨左支座产生的虚反力（图9-4，b）。注明：为跨右支座虚反力；为跨左支座虚反力。6将上述系数和自由项代入前述典型方程（1）可得：……（2）为简化起见，令：，，……IO是任意惯性矩，通常取某跨度惯性矩

3、作为IO；，，…称为各跨换算跨度。于是典型方程（2）成为：……（9-1）这就是通常所称为的三弯矩方程式。对于连续梁的每一个中间支座，都可以写出一个这样的方程式，因而可求出全部中间支座弯矩。当各跨的惯性矩I相同时，可取Io=I，则=，=，式（9-1）成为：………………（9-2）若是各跨的惯性矩I相同，跨度也相同，式（9-2）则简化成：………………（9-3）为便于计算，表9-1中列出了几种常见荷载下的6Aφ和6Bφ值。对复杂一些的荷载，可根据表内数据，由叠加法求得。表9-1几种常见荷载下的6Aφ和6Bφ值荷载当，6当，当，求出各支点弯矩后，以各点弯矩为连续，再对各跨按简支梁做荷载弯矩计算，按

4、叠加法绘制总弯矩图。根据弯矩图作剪力图：；。其中：Mn、Mn+1、Mp→n有正负之分。根据剪力计算支座反力。支点n上的反力：Wn=Qn-Qn+1（↑为正）。例题：求图9-5所示连续梁的M、Q图及支座反力。已知q=10KN/m。解题：设IO=I1，则：，，，按式（9-1）建立各中间支座的三弯矩方程式时，应注意在连续梁的两端处为铰支，有Mo=M46=0。故在第一及最后两个三弯矩方程式中实际仅包含两个未知力。支座1：支座2：支座3：用数字代入上列各式得：解之可得：M1=-17.83KN-m，M2=-24.58KN-m，M3=-3.86KN-m。各中间支座弯矩求得后，最后弯矩图可按叠加法绘出，然

5、后根据弯矩图作出剪力图（图9-6）。再由剪力图可求得各支座反力为：注：弯矩图是按简支状态下单跨叠加的！剪力左为“-”，右为“+”。R0=9.06kN↑，R1=20.94+38.31=59.25kN↑；R2=25.18+41.69=66.87kN↑，R3=14.82+1.29=16.11kN↑；R5=1.29kN↓。注解：6计算剪力：；Qn——表示n截面左侧↑，Qn+1—示n截面右侧↓。其中跨中荷载或P、q产生的弯矩（P对n截面的弯矩）在左为“-”，在右侧为“+”。例题9-2，试绘制9-7，a所示连续梁的弯矩图。各跨的、I均相同。解题：6