2017年全国高中数学联赛一试（A卷）答案

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1、[键入文字][键入文字][键入文字]说明：2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准5[键入文字][键入文字][键入文字]1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x+3)×f(x-4)=-1

2、．又当0£x<7时，f(x)=log2(9-x)，则f(-100)的值为．答案：-1．25[键入文字][键入文字][键入文字]解：由条件知，f(x+14)=-1f(x+7)=f(x)，所以5[键入文字][键入文字][键入文字]．f(-100)=f(-100+14´7)=f(-2)=-1=-11=-f(5)log2422.若实数x,y满足x2+2cosy=1，则x-cosy的取值范围是．3答案：[-1,+1]．解：由于，故．由可知，时，有最小值（这时y可以取）；当时，有最大值5[键入文字][键入文字][键入文字]3（这时y可以取）．由于1(x+1)2-1的值域是[-1,2+1]，从而

3、x-cosy的取5[键入文字][键入文字][键入文字]3值范围是[-1,+1]．x2y25[键入文字][键入文字][键入文字]3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，F为C的上焦9105[键入文字][键入文字][键入文字]点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为．答案：311．25[键入文字][键入文字][键入文字]解：易知A(3,0),F(0,1)．设P的坐标是(3cosq,10sinq),qÎæç0,çèpö÷，则2ø÷5[键入文字][键入文字][键入文字]=311sin(q+j)．2其中．当时，四边形OAPF面积的最大值

4、为311．25[键入文字][键入文字][键入文字]1.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是．答案：75．解：考虑平稳数abc．若b=0，则a=1,cÎ{0,1}，有2个平稳数．若b=1，则aÎ{1,2},cÎ{0,1,2}，有2´3=6个平稳数．若2£b£8，则a,cÎ{b-1,b,b+1}，有7´3´3=63个平稳数．若b=9，则a,cÎ{8,9}，有2´2=4个平稳数．综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75．2.正三棱锥P-ABC中，AB=1,AP=2，过AB的平面a将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为．答案：35．105

5、[键入文字][键入文字][键入文字]解：设AB,长公式知PC的中点分别为K,M，则易证平面ABM就是平面a．由中线=3-çç2è2æ1ö2ø=52．，5[键入文字][键入文字][键入文字]5[键入文字][键入文字][键入文字]AM2-AK2所以KM=又易知直线PC上的射影是直线MK，而CM=1,KC=3，所以25[键入文字][键入文字][键入文字]，故棱PC与平面a所成角的余弦值为35．1051.在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)

6、x,y=-1,0,1}．在K中随机5[键入文字][键入文字][键入文字]取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为答案：4．7的概率为．5

7、[键入文字][键入文字][键入文字]A1yA2A3A8OA4xA7A6A5解：易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的9方式数为C3=84种．5将K中的点按右图标记为A1,A2,L,A8,O，其中有85[键入文字][键入文字][键入文字]对点之间的距离为．由对称性，考虑取A1,A4两点的情5[键入文字][键入文字][键入文字]况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7´8=56个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个Ai(i=1,2,L,8)，K5[键入文字][键入文字][键入文字]5中恰有Ai+3,Ai+5两点与之距离为（这里下标按模8理解），因而恰有5[键入文字][键入文字][键入

8、文字]{Ai,Ai+3,Ai+5}(i=1,2,L,8)这8个三点组被计了两次．从而满足条件的三点组个数为56-8=48，进而所求概率为48=4．8475[键入文字][键入文字][键入文字]1.在DABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．若ÐA=p，3AMANDABC的面积为3，则uuuur×uuur的最小值为．答案：．解：由条件知，，，故5[键入文字][键入文字][键入文字]3由于=S=1×uuur×uuur×sinA=