高考数学一轮复习第3章第7讲正弦定理与余弦定理知能训练轻松闯关理

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1、第7讲正弦定理与余弦定理1.(2016·上海一模)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC(  )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析:选C.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13, 所以a∶b∶c=5∶11∶13,故令a=5k,b=11k,c=13k(k>0),由余弦定理可得cosC===-<0,又因为C∈(0,π),所以C∈,所以△ABC为钝角三角形,故选C.2.由下列条件解△ABC,其中有两解的是(  )A.b=2

2、0,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°C.a=14,c=16,A=45°D.a=12,c=15,A=120°解析:选C.对于A,由A=45°,C=80°,得B=55°,由正弦定理==得,a==,c=,此时△ABC仅有一解,A不符合条件;对于B,由a=30,c=28,B=60°,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=844,可得b=2,此时△ABC仅有一解,B不符合条件;对于D,由a=12,c=15,知a

3、=45°及正弦定理=,得sinC==>,又c>a,故C>45°,由正弦函数的图像和性质知,此时△ABC有两解,故选C.3.(2016·上饶模拟)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知=,且a2-c2=2b,则b=(  )A.4          B.3C.2D.1解析:选A.由题意可得3ccosA=acosC,由余弦定理可得3c×=a×,整理得b2=2(a2-c2),又因为a2-c2=2b,代入得b=4.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=,则角C=(  )A.B.C.D.或解析:选B

4、.在△ABC中,由余弦定理得cosA=,即=,所以b2+c2-a2=bc,又b2=a2+bc,所以c2+bc=bc,所以c=(-1)b

5、.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=1,a=2c,则当C取最大值时,△ABC的面积为(  )A.B.C.D.解析:选B.当C取最大值时,cosC最小,由cosC===≥,当且仅当c=时取等号,且此时sinC=,所以当C取最大值时,△ABC的面积为absinC=×2c×1×=.7.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=________. 解析:在△ABC中,由b2=a2+c2-2accosB及b+c=7知,b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,整理得15b-60=0,所以b=4.答案:48.在△ABC

6、中,b=ccosA+asinC,则角C的大小为________. 解析:因为b=ccosA+asinC,由余弦定理得b=c·+asinC.即b2+a2-c2=2absinC.所以2abcosC=2absinC,即tanC=.又0

7、数列,且a=2c,则cosA=________.解析:因为sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sinB=sinA+sinC.因为==,所以a+c=2b,又a=2c,可得b=c,所以cosA===-.答案:-11.(2015·高考全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.解:(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB==.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90

8、°,由勾股定理得a2+c2=b2,故a2+c2=2ac,进而可得c=a=.所以△ABC的面积为××=1.12.(2016·洛阳统考)在△

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