高考数学一轮复习第3章第7讲正弦定理与余弦定理知能训练轻松闯关理

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1、第7讲正弦定理与余弦定理1．(2016·上海一模)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：选C.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，　所以a∶b∶c＝5∶11∶13，故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k＞0)，由余弦定理可得cosC＝＝＝－＜0，又因为C∈(0，π)，所以C∈，所以△ABC为钝角三角形，故选C.2．由下列条件解△ABC，其中有两解的是(　　)A．b＝2

2、0，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，c＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°解析：选C.对于A，由A＝45°，C＝80°，得B＝55°，由正弦定理＝＝得，a＝＝，c＝，此时△ABC仅有一解，A不符合条件；对于B，由a＝30，c＝28，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝844，可得b＝2，此时△ABC仅有一解，B不符合条件；对于D，由a＝12，c＝15，知a

3、＝45°及正弦定理＝，得sinC＝＝>，又c>a，故C>45°，由正弦函数的图像和性质知，此时△ABC有两解，故选C.3．(2016·上饶模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知＝，且a2－c2＝2b，则b＝(　　)A．4　　　　　　　　　　B．3C．2D．1解析：选A.由题意可得3ccosA＝acosC，由余弦定理可得3c×＝a×，整理得b2＝2(a2－c2)，又因为a2－c2＝2b，代入得b＝4.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C＝(　　)A.B.C.D.或解析：选B

4、.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，所以c＝(－1)b

5、．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为(　　)A.B.C.D.解析：选B.当C取最大值时，cosC最小，由cosC＝＝＝≥，当且仅当c＝时取等号，且此时sinC＝，所以当C取最大值时，△ABC的面积为absinC＝×2c×1×＝.7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________．　解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.答案：48．在△ABC

6、中，b＝ccosA＋asinC，则角C的大小为________．　解析：因为b＝ccosA＋asinC，由余弦定理得b＝c·＋asinC.即b2＋a2－c2＝2absinC.所以2abcosC＝2absinC，即tanC＝.又0

7、数列，且a＝2c，则cosA＝________．解析：因为sinA，sinB，sinC成等差数列，所以2sinB＝sinA＋sinC.因为＝＝，所以a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cosA＝＝＝－.答案：－11．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90

8、°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.所以△ABC的面积为××＝1.12．(2016·洛阳统考)在△