高考数学思想方法专题讲义4--等价转化的思想

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1、taoti.tl100.com你的首选资源互助社区高考数学思想方法专题讲义4－－等价转化的思想1．已知x，yR，且满足方程求下列各式的最小值：（1）；（2）．2．集合A＝{x}，B＝{}，C＝{}，当a取什么实数时，≠且＝同时成立．3．解方程：．4．在△ABC中，，且最大角与最小角之差为90，求证它的三边之比为（）︰︰（）．5．如果a，b，cR，并满足，，求的最值．6．设四面体的每组相对棱的长分别为a，b，c，求此四面体的体积．7．已知a，b，x，yR，且，，求证：．8．若，求的范围．9．若△ABC的三个内角，A，B，C满足，，，求证：△ABC是等腰三角形．11．5个不同的红球和2个不同的白

2、球排在一个圆周上，使2个白球不相邻有几种排法？12．已知，求证x，y，z中至少有一个等于0．等价转化的思想参考答案1．（1）把原方程配方，得＝．∵，∴（2）原方程配方，得，，由（1）知．而xy在［，上为增函数，∴xy的最小值为2．∵B＝{2，3}，C＝{2，－4}，要使成立，与－4都不是方程的解；要使，3是方程的解，即．∴，或．当时，A＝{2，3}，不满足taoti.tl100.com你的首选资源互助社区，故舍去；当时，A＝{3，－5}，合题意，故为所求3．原方程可化为，此方程的解等价于双曲线的右支与直线的交点的横坐标，解得大于或等于4时的解为．故原方程解为4．已知等式＝．设最小角为，则三个

3、内角的大小顺序为，，．∵a︰b︰c＝︰︰＝︰︰（），由，得＝．∴．平方得．因此，，是方程的两根，解此方程得，（∵）．∴．∴︰︰＝︰︰5．设P的坐标为（a，b），则点P满足方程．设Q的坐标为（c，d），则点Q满足，．若两圆的连心线分别交圆两圆于A，B，C，D，如图，的最大值为，最小值为，，．6．如图，将四面体“装入”它的外接长方体内，使得长方体相邻的三个面的对角线长分别等于四面体各组棱长．设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，则……①，……②，……③．由①、②、③解得，，．∴taoti.tl100.com你的首选资源互助社区．∵∴．7．所证问题可转化为点（a，b）与（－x，－y）间的距离，已知

4、点（a，b）在：上，点（－x，－y）在：上，且∥，因平行直线上任意两点间的距离不小于这两平行线的距离，，∴8．∵，∴＝，可看做圆上的动点，P（x，y）到二定点A（－3，－4），B（3，－4）的距离之和，而A，B又在圆上，因此，当P与A或B重合时，为最小；当P与点（0，5）重合时，为最大．的取值范围为［6，］taoti.tl100.com你的首选资源互助社区9．从形上看三个条件具有同一模式，可看成是P（，），Q（，），R（，）三点同在一直线上，同时，注意到这三点的坐标也具有同一模式这是抛物线的一段：（）．这表明P，Q，R是直线与抛物线段（）的三个公共点，但实际上它们至多有两个公共点，所以这三点

5、中至少有两点重合，从而A，B，C中至少有两者相等，故△ABC是等腰三角形．11．先转化为2个白球相邻时有多少种排法，然后求出不相邻时的排法总数12．原命题可转化为：已知，求证：．∵……①，……②③．①－②，整理得……④．又……⑤，将①、②、③、④代入⑤，得．∴