应用平面向量基本定理解题题型 归纳

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1、平面向量基本定理常用题型归纳何树衡刘建一平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数使得=平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：一、基本题型随处可见1.1直接利用唯一性求解例1：在直角坐标平面上，已知O是原点，，若，求实数x,y的值解：∴即x为－3，y为3.1.2构建三角形，利用正余弦定理求解例2：如图，平面内有三个向量，其中夹角为120º，的夹角为30º，，若,则=，

2、=.解：过C作CD∥OB交OA的延长线于D，在Rt△ODC中，D30ºOCBA∴即=4，=25二、共线问题常考常新2.1感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。BPAD常用结论：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得关于基底{OA,OB}的分析式为反之，若则A，P，B三点共线（特别地令t=,称为向量中点公式）CBPAN例3：在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为解：∵，∴∵B,P,N三点共线，∴又∵，∴m=2.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力例4：在平行四边形OACB中，BD=BC，O

3、D与BA相交于E，求证：BE=BA证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA，只需证E，E′重合即可设，，，=CBDAEO∴O,E′,D三点共线∴E,E′重合，∴BE=BA三、区域问题渐成热点由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足，记直线OA，OB，AB分别为lOA,lOB,lAB，平面被分成如图7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，表(2)5AOBⅣⅣⅠⅥⅡⅢⅦ表(1)充要条件动点C所在区域(不含边

4、界)x,y满足条件Ⅰx>0，y>0且x+y<1Ⅱx>0，y>0且x+y>1Ⅲx>0，y<0且x+y>1Ⅳx>0，y>0且x+y>1或x<0,y>1ⅤX<0,00,y>0C在线段AB的延长线上x<0,y>0C在线段BA的延长线上x>0,y<0C在线段OA上y=00≤x≤1C在线段OA的延长线上x>1C在线段AO的延长线上x<0C在线段OB上x=00≤y≤1C在线段OB的延长线上y>1C在线段BO的延长线上上y<0在近十年高考题中，区域

5、问题常以下面两种题型出现.3.1动点所在位置定，判断系数满足条件5例5：如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界)，若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a,b满足（）ⅡP2P1OⅢⅠⅣA．a>0,b>0B．a>0,b<0C．a<0,b>0D．a<0,b<0答案：B例6：如图OM∥AB，点P在射线OM，射线OB及AB的延长线围成的阴影部分内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是，当x=－时，y的取值范围是.BAMTPSBAOM答案：x<0O解：①设OS∥AB，过S作OB平行线交AB延长线于T，则的终点P只能在线段ST上（

6、不包括端点）②由区域V性质得x<0,00且x+y=1∴=－+,－+y=1∴y=即0,>0∴∴+≤1P点形成图形的面积为S△AOB=sin∠AOB=×2×2×sin=,同理S△A′OB=∴SA′B′AB=4巩固练习及参考答案1.已知

7、，若，求，2.已知△ABC和点M满足，若存在实数m使得成立，则m=()A．2B．3C．4D．5ANPMBC3.如右图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.4.已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量，则O≤x≤,O≤y≤的概率是（）A．B．Ｃ．D．参考答案：1.=3，=42.B3.3：14.A参考文献：[1]卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究[J],中学数学研究，2014,(9).[2]殷华.一道向量题的研究学习[J],中学数学研究，2014,(10).[3]舒跃

8、进.平面向量基本定理的相