专题14 数列解答题-三学年高考（2015-2017）数学（理）试题（附解析）

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1、专题14数列解答题-三年高考（2015-2017）数学（理）试题1.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)（II）【解析】试题分析：(I)依题意布列和公比的方程组.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+=……+①又……+②①-②得

2、=所以【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.2.【2017北京，理20】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，所以关于单调递减.所以，即证明；（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.试题解析：解：（Ⅰ），.当时，，所以关于单调递减.（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则.所以①当时，取正整数，则当时，，

3、因此.此时，是等差数列.②当时，对任意，此时，是等差数列.③当时，当时，有.所以对任意正数，取正整数，故当时，.【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.3.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.【答案】（1）..（2）.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（I）设等差数列的公差为，等比数

4、列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得①.由，可得②，联立①②，解得，，由此可得.所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.（II）解：设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.【考点】等差数列、等比数列、数列求和4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．证明：当时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1−xn≤；（Ⅲ）≤xn≤．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学归纳法证明；

5、（Ⅱ）由（Ⅰ）得，构造函数，由函数单调性可证；（Ⅲ）由，得，递推可得试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：当n=1时，x1=1>0假设n=k时，xk>0，那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．因此，所以，因此（Ⅱ）由得记函数函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，因此，（Ⅲ）因为，所以得，，，故，【考点】不等式证明5.【2017江苏，19】对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等差数列是“数列”;（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为是等差

6、数列，设其公差为，则，从而，当时，，所以，因此等差数列是“数列”.，④将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：6.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和．【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）1893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差，

7、从而求得通项，再根据已知条件表示不超过的最大整数，求；（Ⅱ）对分类讨论，再用分段函数表示，再求数列的前1000项和．试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为所以数列的前项和为考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2.故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与d

8、m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有an≤2，即非