（北京卷）十年真题（2010_2019）高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文（含解析）

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1、专题04导数及其应用 历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019导数综合问题2019年北京文科20解答题2018导数综合问题2018年北京文科19解答题2017导数综合问题2017年北京文科20解答题2016导数综合问题2016年北京文科20解答题2015导数综合问题2015年北京文科19解答题2014导数综合问题2014年北京文科20解答题2012导数综合问题2012年北京文科18解答题2011导数综合问题2011年北京文科18解答题2010导数综合问题2010年北京文科18 历年高考真题汇编1．【2019年北京文科20】已知函数f（

2、x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝

3、f（x）﹣（x+a）

4、（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负

5、，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝

6、f（x）﹣（x+a）

7、＝

8、f（x）﹣x﹣a

9、＝

10、g（x）﹣a

11、∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝

12、t﹣a

13、，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝

14、a

15、＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣

16、6）＝

17、﹣6﹣a

18、＝

19、6+a

20、，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3． 2．【2018年北京文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]ex．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a

21、﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]ex＝（x﹣1）（ax﹣1）ex，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2ex≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符

22、题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（1，+∞）． 3．【2017年北京文科20】已知函数f（x）＝excosx﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝excosx﹣x的导数为f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0c

23、os0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝excosx﹣x的导数为f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）＝﹣2ex•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2ex•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）co

24、s． 4．【2016年北京文科20】设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（