求异面直线的距离的若干方法

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1、求异面直线的距离的若干方法本文将通过一道例题的多种解法向大家介绍求异面直线的距离的若干方法，希望对同学们的学习能够有所帮助。例1 ：已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1D与AC的距离。一、直接利用定义求解       如图1，取AD中点M，连、MB分别交、AC于E、F，连，由平面几何知识，易证，，，则。由，得⊥平面，则，同理AC⊥，所以，EF⊥，EF⊥AC，即EF为异面直线与AC的距离，故有EF=。评注：此法的关键是作出异面直线的公垂线段。二、转化为线面距离求解如图2，连、，则AC∥平面。设AC、BD交于O，、交于，连

2、，作OE⊥于E，由⊥平面知，故OE⊥平面。所以OE为异面直线与AC的距离。在△中，，则所以异面直线与AC的距离为。评注：此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合理、恰当地转化是解决问题的关键。第4页共4页 三、转化为面面距离求解如图3，连、、、、，易知平面，则异面直线与AC的距离就是平面与平面的距离，易证⊥、⊥平面，且被平面和平面三等分，又。所以异面直线与AC的距离为。评注：此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。四、构造函数求解如图4，在上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF

3、，则∠EMF=。设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则所以，当且仅当时，EF取最小值。所以异面直线与AC的距离为。评注：选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。 第4页共4页五、利用体积变换求解       如图5，连、、，则∥平面，设异面直线与AC的距离为，则D到平面的距离也为。易知，。由，得。所以，则。所以异面直线与AC的距离为。评注：此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。 六、利用向量求解如图6，AB为异面直线、的公垂线段，为直线AB的方向向量，E、F分别为直线、上的任意一点，则。

4、证明：显然=，，。所以，所以，所以，即，所以。把上述结论作为公式来用，即可巧妙地求出某些问题中的异面直线间的距离。第4页共4页建立如图7所示的空间直角坐标系，易知，=（-1，1，0），（-1，0，0）。设异面直线、AC的公垂线的方向向量为，由，，得解得故可取。所以异面直线与AC的距离为。评注：此法是利用公式求解，具有不必作出公垂线段的特点，合理、恰当地建立空间直角坐标系，常能使问题变得简单易解。由以上解法可看出，在解某些求异面直线距离的问题时，可从不同的角度对题目进行分析研究，从而得到若干不同的解法，再从中选出某些巧妙的解法，即可简便快捷的将题

5、目解出。 第4页共4页