江苏省2013届高考数学复习专题3导数

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1、实用江苏省2013届高考数学复习专题3导数(Ⅰ)导数作为研究函数的重要工具，同时也是学习高等数学的基础，一直受到命题者的青睐.2008年考了2小题，并在17题中进行了考查(运用导数求三角函数的最值)；2009年考了2小题，都是考查三次函数的导数，显然重复；2010年第8题和压轴题都考查了导数；2011年12题和19题；2012年14题和18题.可以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调性等.预测在2013年的高考题中：(1)导数的几何意义；(2)利用导数研究函数的单调性或者极值、最值.1．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy

2、中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．解析：y′＝3x2－10＝2⇒x＝±2，又点P在第二象限内，故x＝－2.点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)2．(2010·江苏高考)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.解析：在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝文档实用，所以ak＋1＝.则a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案：213．若函数f(

3、x)＝ex－2x－a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：当直线y＝2x＋a和y＝ex相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln2,2)，直线方程是y＝2x＋2－2ln2，将直线y＝2x＋2－2ln2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点．答案：(2－2ln2，＋∞)4．(2010·江苏高考)将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则S＝＝·(0

4、以x＝.文档实用当x∈时，S′(x)<0，函数单调递减；当x∈时，S′(x)>0，函数单调递增；故当x＝时，S取最小值为.法二：利用函数的方法求最小值．令3－x＝t，t∈(2,3)，∈，则S＝·＝·.故当＝，x＝时，S取最小值为.答案：5．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．解析：设P(x0，ex0)，则l：y－ex0＝ex0(x－x0)，所以M(0，(1－x0)ex0)．过点P作l的垂线其方程

5、为y－ex0＝－e－x0(x－x0)，N(0，ex0＋x0e－x0)，所以t＝[(1－x0)ex0＋ex0＋x0e－x0]＝ex0＋x0(e－x0－ex0)．t′＝(ex0＋e－x0)(1－x0)，所以t在(0,1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，所以当x0＝1时，t取最大值tmax＝.文档实用答案：　　(2012·扬州调研)已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exlnx(e是自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线也是抛物线y2＝4(x－1)的切线，求a的值；(2)若对于任意x∈R，f(x)>0恒成立，试确定实数a的取值范围；(3)当a＝－1时，是否存在x0

6、∈(0，＋∞)，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由．[解]　(1)f′(x)＝ex＋a，f′(1)＝e＋a，所以在x＝1处的切线为y－(e＋a)＝(e＋a)(x－1)，即y＝(e＋a)x.与y2＝4(x－1)联立，消去y得(e＋a)2x2－4x＋4＝0，由Δ＝0知，a＝1－e或a＝－1－e.(2)f′(x)＝ex＋a，①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，且当x→－∞时，ex→0，ax→－∞，所以f(x)→－∞，故f(x)>0不恒成立，所以a>0不合题意；②当a＝0

7、时，f(x)＝ex>0对x∈R恒成立，所以a＝0符合题意；③当a<0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，得x＝ln(－a)，当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，ln(－a))上单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(ln(－a))＝－a＋aln(－a)>0，所以a>－e.又a<0，所以a∈文档实用(－e,0)．综上a的取值范围为(－e,0]．(3)当a