数字图像处理及应用（MATLAB)第2章

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1、在计算机的图像处理中，所谓图像变换就是为达到图像处理的某种目的而使用的一种数学技巧，图像经过变换后处理起来较变换前更加简单和方便，图像变换主要指正交变换和几何变换。图像正交变换可以减少图像数据的相关性，获取图像的整体特点，有利于用较少的数据量表示原始图像，这对图像的分析、存储以及图像的传输都是非常有意义的。图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化的方法。若在实际场景拍摄到的—幅图像，如果画面过大或过小，就需要进行缩小或放大，在进行目标物的匹配时，需要对图像进行旋转、平移等处理。因此，图像几何变换是图像处理及分析的基础。第二章数字图

2、像变换技术2.1图像的正交变换2.2图像的几何变换本章主要介绍正交变换的离散傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换；几何变换的平移、镜像、旋转、比例缩放和复合变换。2.1图像的正交变换正交变换是信号处理中最重要的一类变换。在数字图像处理中有两类主要方法，个是在空间域处理的方法，一个是在变换域处理的方法。目前，在数字图像处理中，正交变换因其独特的性质广泛运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像识别及图像编码等处理中。离散傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换是图像处理中常用的变换。2.1.1离散傅立叶变换令f(x)为实变量x的一维连续函数，当f(x)满足狄里赫

3、莱条件，则傅里叶变换对一定存在。一维连续函数的傅里叶变换对定义为：1.离散函数的傅立叶变换式中，x—时域变量；u—频域变量。一维连续函数的傅里叶变换推广到二维，如果二维函数满足狄里赫莱条件，则它的傅里叶变换对为为了在计算机上实现傅里叶变换计算，必须把连续函数离散化，即将连续傅里叶变换转化为离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform，简称DFT)。设{f(x)

4、f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为：式中：x，u=0，1，2，…,N－1。注意在上式中的系数1/N通用，有时也可

5、在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。将一维离散傅立叶变换推广到二维，则二维离散傅立叶变换对定义为：像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数，只要两式系数的乘积等于1/MN即可。下图为图像的傅里叶变换示意。（a）原图像(b)变换后的图像图像的傅立叶变换2二维离

6、散傅立叶变换的主要性质下表给出了二维离散傅立叶变换的基本性质设二维离散函数为f1(x,y)和f2(x,y)，它们所对应的傅立叶变换分别为F1(u,v)和F2(u,v)。（1）线性性质式中，a，b为常数。此性质可以节约求傅立叶变换的时间。若已经得到了f1(x,y)和f2(x,y)及F1(u,v)和F2(u,v)的值，则af1(x,y)+bf2(x,y)的傅立叶变换就不必按照式上式来求，只要求得aF1(u,v)+bF2(u,v)就可以了。（2）比例性质对于二个标量a和b，有这说明了在空间比例尺度的展宽，相应于频域比例尺度的压缩，其幅值也减少为原来的，如图所示

7、。图傅立叶变换的比例性（3）可分离性可以把此两式变成如下形式：利用这个性质，一个二维的离散傅立叶变换（或反变换）可通过进行两次一维离散傅立叶变换（或反变换）来完成。例如，以正变换为例，先对f(x,y)沿y轴进行傅立叶变换得到F(x,v)，再沿着x轴对进行一维离散傅立叶变换,得到结果，显然对f(x,y)先沿x轴进行离散傅立叶变换，再沿y轴进行离散傅立叶变换结果一样。反变换也是如此。（4）频率位移频率位移：这一性质表明，当用乘以f(x,y)，求乘积的傅立叶变换，可以使空间频率域u－v平面坐标系的原点从（0，0）平移到（u0，v0）的位置；同样，当用乘以F(u

8、,v)，并求此乘积的离散傅立叶反变换，可以使空间x－y平面坐标系原点从（0，0）平移到（x0，y0）的位置。在数字图像处理中，为了清楚地分析图像傅立叶谱的分布情况，经常需要把空间频率平面坐标系的原点移到（M/2，N/2）的位置，即令u0=M/2v0=N/2，则上式表明：如果需要将图像频谱的原点从起始点(0，0)移到图像的中心点(M/2，N/2)，只要f(x，y)乘上因子进行傅立叶变换即可实现。数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如图所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流

9、成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f