函数的连续性 相关知识汇总联系

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1、第八讲函数的连续性一、函数的连续性客观世界许多现象都是连续变化的。比如时间的变化是连续的。所谓连续就是不间断。1、函数连续的定义（1）引例：观察函数图像y=x2,y=1x,y=2x,x≤0x+1,x>0,y=1,x≠00,x=0(2)定义：设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义,若,则称函数y=f(x)在点x0处连续.否则称函数f(x)在点x0不连续,，点x0为函数f(x)的不连续点或间断点.注:①Û.②函数在点x0连续的几何意义：函数的图形在x0不断开；连续的实质是当自变量变化不大时，函数值变化也不大。2、左右连续性:如果,则称y=f(x)在点处左连续.如

2、果,则称y=f(x)在点处右连续.左右连续与连续的关系:函数y=f(x)在点x0处连续Û函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续.3、函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1.如果f(x)是多项式函数,则函数f(x)在区间(-¥,+¥)内是连续的.2.函数y=sinx在区间(-¥,+¥)内是连续的.二、函数的间断点的分类通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点,左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在,那么x0称为函数f(

3、x)的第一类间断点.其中左、右极限相等者称为可去间断点,不相等者称为跳跃间断点.不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.例1.正切函数y=tanx在处没有定义,点是函数tanx的无穷间断点.例2.函数在点x=0没有定义,所以点x=0是函数的振荡间断点.例3.函数在x=1没有定义,点x=1是函数的可去间断点.例4.设函数.函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象,我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点.三、初等函数的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续,则函数f(x)±g(x),f(x)×g(x),(当时)在点x0也连续.例1.sinx和cosx都

4、在区间(-¥,+¥)内连续,故tanx和cotx在它们的定义域内是连续的.定理2设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,若函数u=g(x)在点x0连续,函数y=f(u)在点u0=g(x0)连续,则复合函数y=f[j(x)]在点x0也连续.例4.讨论函数的连续性.解:函数是由y=sinu及复合而成的.sinu当-¥

5、且x0是f(x)的定义区间内的点,则f(x)=f(x0).例5.求.例6.求.四、闭区间上连续函数的性质定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.注意:如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.零点:如果x0使f(x0)=0,则x0称为函数f(x)的零点.定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少有一点x使f(x)=0.例1.证明方程x3-4

6、x2+1=0在区间（0,1）内至少有一个根.定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)¹f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点x,使得f(x)=C.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.