现代数学与中学数学的结合[1]

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1、现代数学与中学数学的结合现在我们的教育不再是应试教育，而是要向素质教育转化，搞“题海战术”，进行“大运动量”、“高难度”训练，以应付“高考”.题越挖越深，越出越难，这种“应试”教育严重违反了教学规律，摧残了学生身心健康，也阻碍了中学数学课程深化改革的进程.随着各项教育措施的改革，为了适应未来社会对人才的需求，在我们的中小学课堂教学过程中，学生学习的内容应该事现代科学技术所必须的基本知识。在中小学的数学教学中，要注意结合渗透现代数学的基本内容和思想。那么什么是现代数学呢？我们的中小学课堂教学过程要渗透哪些现代数学的内容和思想呢？传统

2、数学与现代数学的对立,贯穿于数学教育改革的始终,现代化进程的加快,更突出了二者的矛盾。20世纪初,英国数学家贝利(JPerry)指出,数学教育要冲破5几何原本6的束缚,重视实验几何,多教些立体几何,应尽早教授微积分概念;德国数学家克莱因(FKlein)主张,应加强函数和微积分教学,改革充实代数内容,用几何变换观点改革传统几何内容,把解析几何纳入中学数学内容.克莱因2贝利运动实质上就是一场近现代数学冲击传统数学的数学教育改革运动。1960年代的/新数运动0,把数学教育现代化运动推向了高潮,传统与现代的矛盾也激化起来。传统数学内容被削

3、减许多,开方!根式!无理函数!三角方程等均被精简,尤其是几何,在/许多国家里,几何作为独立的实体趋向于从课程中消失0[1],而大量近现代数学内容如集合!向量!变换!矩阵!概率统计等被充实到中小学课程中去.但这次改革并未成功,/新数运动0的受挫,使人们认识到:数学不能割断历史,传统的中学数学还是最基本的。于是在1970年代/回到基础0的口号中,传统数学又占据了主导地位。我国充实先进数学内容的改革,实质上也反映了传统数学与现代数学的冲突.事实上,每一次数学教育改革,都或多或少地隐含着传统与现代的矛盾,正是二者的矛盾运动,推动了数学教育

4、的健康发展。现代数学事相对于传统数学而言的，它有区别于传统数学的几个特征：（1）研究对象大大扩充，研究对象的任意抽象关系，研究集合，研究结构（2）数学思维进一步发展，抽象程度越来越高（3）数学方法发生根本变革，公理化方法形成，并有主要位置；（3）应用领域大大扩充。目前再我们的中学教材中增添的现代数学内容主要就是以下几种：集合论、数理统计、微积分、概率统计、空间向量、算法语言和简单程序设计。在课堂教学中我们可以在解题过程中渗透现代数学中的思想，集合是全部数学的基础，在中学数学里引进集合并运用集合思想改造传统数学内容的例子到处都是。例

5、如在立体几何中将直线和平面都理解为点的集合，这样就可以运用集合思想方法处理立体几何中的问题。例如：三个平面两两相交，有三条直线，求证这三条交线交于一点或互相平行.（1）用集合语言描述上述问题：已知：α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,求a//b//c或a.b.c交于一点.(2)用集合思想解题：证明：若a//b，则∴b∩c=α∩β∩γ=a∩b=φQb?γ,c?γ，b//c。从而a//b//c;若a∩b=A，则A∈a=α∩β,∴A∈α;A∈b=γ∩α,∴A∈γ.所以A∈γ∩α=c,∴a,b,c共点于A点空间向量在解决立体几何问题犹如一

6、把万能钥匙，它把立体几何问题加以量化，从而降低了思维难度，增加了可操作性，使空间向量在角和距离的处理上有着独特的优势，它最大限度的避开了思维的高强度转换，避开了各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算，有利于我们较好的解决问题，不再那么烦琐，被众多师生所青睐。例如：在以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F,G分别是BB1,CD,CC1的中点.（1）求证：AE⊥D1F.（2）求平面A1BG与平面ABCD所成的角（锐角）。（3）求点A到平面A1BG的距离。（4）求AA1与平面A1BG所成的角（5）求异面直线AC和BC

7、1的距离。分析：（1）建立空间直角坐标系.要证明AE⊥D1F只要证明AED1F=0（2）要求平面A1BG与平面ABCD所成的角,只要求这两平面的法向量所成的角。（3）AA1在平面A1BG的法向量n射影的绝对值就是点A到平面A1BG的距离.（4）AA1与平面A1BG的法向量n所成的角余角就是直线AA1与平面A1BG所成的角（5）AB在AC和BC1的公垂向量上射影的绝对值就是异面直线AC和BC1的距离.　　　传统解法中求二面角、线面角、点面距离和异面直线距离都和平面的垂线有关。与向量方法中的平面法向量本质上是一致的，所不同的是过定点作

8、平面的垂线及异面直线的公垂线都只有唯一一条，但平面的法向量及异面直线的公垂向量可以自由移动的，这恰恰是向量的本质之一，这就给我们解题带来了自由选择的余地，这正是向量解法的绝妙之处。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：与其说是教现代数学，不如说是现代