高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案（含解析）新人教版

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1、§3.2　函数模型及其应用3.2.1　几类不同增长的函数模型学习目标　1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点).知识点　三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度

2、，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(　　)(2)函数y＝log2x增长的速度越来越慢.(　　)(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(　　)提示　(1)√　因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值.(2)√　由函数y＝log2x的图象可知其增长的速度越来越慢.(3)×　根据指数函数和幂函数增长速度的比较可

3、知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.题型一　几类函数模型的增长差异【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)A.y＝2017xB.y＝x2017C.y＝log2017xD.y＝2017x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变

4、量是________.解析　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案　(1)A　(2)y2规律方法　常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，

5、c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定.【训练1】　下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)A.y＝e

6、xB.y＝100lnxC.y＝x100D.y＝100·2x解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.答案　A典例迁移　题型二　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1

7、为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6)，所以f(2011)>g(2011)>g(6)>f(6).【迁移1】　(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)题呢？解　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数

8、的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.【迁移2】　(变换所求)本例条件不变，例2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2015)