高中数学第一章1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法（第1课时）学案（含解析）新人教A版

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1、1.2.2　函数的表示法第1课时　函数的表示法学习目标　1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点一　解析法思考　一次函数如何表示？答案　y＝kx＋b(k≠0)．梳理　一般地，解析法是指：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．知识点二　图象法一般地，图象法是指：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势．知识点三　列表法思考　在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不

2、是函数关系？能否用解析式表示？答案　对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．梳理　一般地，列表法是指：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．函数三种表示法的优缺点1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．(×)2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．(×)3．函数y＝f(x)的图象上任一点(x0，y0)必满足y0＝f(x0)．(√)4．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(√)类型一　解析式

3、的求法例1　根据下列条件，求f(x)的解析式．(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；考点　求函数的解析式题点　待定系数法求函数解析式解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性质，得∴或∴所求函数解析式为f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.(2)f(2x＋1)＝6x＋5；考点　求函数的解析式题点　换元法求函数解析式解　方法一　设2x＋1＝t，则x＝，∴f(t)＝6·＋5＝3t＋2.∴f(x)＝3x＋2.方法二　f(2x＋1)＝6x＋5＝3(2x＋1)＋

4、2，∴f(x)＝3x＋2.(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.考点　求函数的解析式题点　方程组法求函数解析式解　∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.反思与感悟　(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x

5、，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后利用消元法消去f(－x)．跟踪训练1　根据下列条件，求f(x)的解析式．(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；考点　求函数的解析式题点　待定系数法求函数解析式解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3.∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；考点　求函数的解析式题点　换元法求函数解析式解　方法一　设x＋1

6、＝t，则x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.方法二　f(x＋1)＝(x＋1－1)2＋4(x＋1－1)＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，∴f(x)＝x2＋2x－2.(3)2f ＋f(x)＝x(x≠0)．考点　求函数的解析式题点　方程组法求函数解析式解　∵f(x)＋2f ＝x，将原式中的x与互换，得f ＋2f(x)＝.于是得关于f(x)的方程组解得f(x)＝－(x≠0)．类型二　函数的画法及应用命题角度1　画函数图象例2　画出函数y＝＋x的图象．考点　函数图象题点　求作或判断函

7、数的图象解　当x<0时，y＝＋x＝x－1；当x>0时，y＝＋x＝x＋1.取点A(－1，－2)，B(0，－1)，C(0,1)，D(1,2)．其中，由于x＝0不在定义域内，B，C两点画成空心点，图象如下：反思与感悟　描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，所画图象横坐标的范围必须与定义域保持一致．(2)图象是实线或实心点，定义域外的部分有时可用虚线或空心点来定位整个图象．(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．跟踪训练2　作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[