非数学类决赛试卷答案及评分标准

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1、首届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2010）考试形式：闭卷考试时间：_150_分钟满分：100分.题号—-二三四五六七八总分满分2010101012141212100得分计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤，如木面空白不够可写在木面背面，并标明题号，以下同・）zk1）求极限limy（l+-）sin“1nJr2+），+z?2）计算□纟竺笄些警型，其中工为下半球面z=-,]a2-y2-x2的上侧，a为大于0的常数.3）现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元.试给出最节省的设

2、计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？4）已知朋在黑）内满足八兀）爲二cos*求/⑷•解1）记S”=f（1+E）sin写"1nT〃-1（L1）+。（制・（1分）（3分）兀兀5T1=2362）将工（或分片后）投影到相应坐标平血上化为二重积分逐块计算。（5分）!=—axdydz=-2jjyja2-（y2+z2）dydza》兀其中为yoz平面上的半圆y2+z2

3、f阀；（2/_2dJ/_严_厂2jr因此，Z=Z1+/2=--6z3）设圆柱容器的高为/2,上下底的径为厂，则有龙厂2力=V,或lt=_y_onrCI7所需费用为F（r）=2a7rr2+Ibjurh=IciTir+—r（4分）（5分）（2分）1T7显然，Ff)-^ci7ir-..bV那么，费用最少意味着F（r）=0,也即”=——这时高与底的直径之比为2二亠=-。2r2"b（4分）（5分）4)由sin3x+cos3x=—j=cos(—-x)[1+2sin2(―-x)]得a/244dxI=a/2j,令况=仝一兀，得cos(%)[1+2sin-(兀)]"44duI=-^——"

4、州如“」cosu(l+2sirr%)Jcosw(l+2sin^u)cos（3分）令/=sinu一坷dt(l-/2)(l+2/2)/2rclt~TJi-/2?lnhi+42arctan42t+C——arctan(V2sin(—一兀))+C。34（5分）l+sin(—-x)4l-sin(—-a:)4二、（共10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）求下列极限(1)limzi[(l+丄)"-e]；(2)limn,其中a>0,b>0,c>0.HT8HT8krn111〒+。㈠—e=e2/1n—e=e,2“叫)一1=e{1-丄+0(丄)}_1=e-£+0(丄)kn)_2nn_2nn解⑴

5、我们有因此，lim4(1+-)n-e]=--."Toon2（4分）(2)由泰劳公式有/=幺吆=1+丄lna+o(丄)(mt+8),nnb%=&吆=1+—lnb+o(丄)(〃T+x)nnc%—e吆=1+—Inc+o(—)(nT+*)n因此，)=14-—In/abc4-

6、在x=l点可导，并己知/（1）=0,/（1）=2•求lim/("代x+cosx)xto%2+xtanx解由题设可知:(2分)令y=sirrx+cosx,那么当无t0时，y=sirrx+cosxt1,(4分)故由上式有v/(sirrx+cosx)nlim=2gosiirx+cosx-l(6分)可见,lim/(sin2x+cosx)^im2°x+xtanxgo/(sin2x+cosx)sin2x+cosx-1(snrx+cosx-1兀〜+xtanx)“sin2x+cosx-112lim；=-xto+xtanx2(10分)最后一步的极限可用常规的办法…洛比达法则或泰劳展开…求出。四、

7、(10分)设/(x)在［0,+oo)上连续，并且无穷积分［fx)clx收敛.求解设f(x)dx=I,并令F(x)=£/(r)J/o这时,F(x)=/(x),并有limF(x)=Io(2分)对于任意的)，〉0,我们有-^xf{x)dx=-^xdF(x)=-xF(x)

8、二——F(x)dx=F(y)_丄fF(兀皿根据洛比达法则和变上限积分的求导公式，不难看出(6分)因此,limxf(x)dx=l-l=0olim—fF{x)dx-limF(y)=Iy—yJOyT+8(10分)五、(共12分)设函数