第十二讲游戏必胜的策略

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1、第十二讲游戏必胜的策略我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。规定各从口己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。每胜一场可得一千金。田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。但m忌的上等马要优于齐王的中等马，［□忌的中等马要优于齐王的下等马。出忌的朋友孙膑给他出了一•个主意，叫出忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。结果，出忌先负一场然后连胜两场，反而赢了i千金。这个故事是对策的一个典型例子。他告诉我们：在竞争吋，要认真分析研究、寻

2、求并制定尽对能好的方案。利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候,也不至于输得太惨。这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。下面我们就根据这个理论来想一想对策：例1、两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。例如第一个数1、2,第二个接着往卞数3,也可以数3、4,还可以数3、4、5,o如此继续卞去，谁先数到100,谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？分析：要抢到100,必须抢到96.这时切一个人只能数97或97、98或数97、98、99,无法数到100。如何才能抢到96呢?有必须抢到9

3、2.以此类推,得到一列数92、88、84、…、4.只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（lWaW3）时，就报（4心个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=K2…）因此第二个人就有必胜的策略。只有在第二个人产牛错误时，笫一个人才能获胜。思考：如果将100改为101或99,其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？）例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。甲乙两人轮流从中拿走1根或儿根甚至一堆，但每次只能在某一堆屮拿火柴，

4、谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？分析：这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。对一般情况可以化为特殊情况。解：甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数和同。然后每次根据对手取得根数在另一堆屮取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获腔。说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。例3、一张3X10的长方形网格纸有30个小方格。甲乙两人轮流用剪刀

5、沿方格纸直线剪一刀。（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲……如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜。卬要想获胜，有何策略？分析：送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形,知道取胜为止。解：甲先剪下7X3的一块，把3X3的那块送给乙。乙只能剪成1X3和2X3的两块。若送给甲1X3的那块，正好使甲剪下1X2而获胜。若送给甲2X3的那块，那么甲再一刀剪成1X2和2X2的两块,把2X2的送给乙。乙只可能切成1X2的两块。其屮一块送

6、给甲，甲述是获胜。同学们，这种方法你考虑到了吗？你会不会再遇到问题时，先动脑筋想办法。例4、下图是一张山4X10个方格组成的棋盘，一人持白子置于A位，另一人持黑子置于B位。随后两个人轮流走子，每一次可以沿一条横线或一条纵线至少走一格，并要遵守下列游戏规则：(1)不允许和对方的棋子在同一•条直线上。(2)不能越过对方棋子所在的直线。伦到谁无路可走，就算输。解：如果棋盘只有一个方格，两子置于正方形的对角，谁先走谁输。A1A■■•分析：为了找到规律，我们先从最简单的情况入手，以便找到获胜的策略。⑵A在22的棋盘上，先

7、走者按规则只能走动一格，这时后者仍能走一格，变成(1)图中的形势因此，持白子的人第一步应沿长边移动6格到C点处，C与B是4X4的止方形对角(两个相对的顶点)然厉不论黑子如何移动，白子均可移动，使他和黑子仍然处于一个较小的正方形的对角，直至变成1X1止方形，黑子认输。总结：以上儿例，实质上都是利川一种对称原理来解决的。只要抢先给对方制造一个对称图形，输的人一定是对方。例4、甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。游戏规则：不允许写黑板上已写过的数的约数。轮到谁无法写数时，就是输者。现甲先写，乙后写，问谁能获胜？

8、需要什么对策？分析：仍然利川对称原理。抢先给对方制造一个对称。只要甲先写6.解：甲先写6。乙还有4、5、7、8、9.10A个数可以选择。把他们分成三纽(4,5)、(&10)、(7,9)o乙写某组数中的一个时，卬就写同组数中的另一个，从而一定获胜。练习1、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是1至8Z内的自然数。把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88,谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？2、桌而