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1、商丘师范学院2011-2012学年度第二学期期终考试数学与信息科学学院数学教育专业10级（数专10・1班、数专10・2班）《数学建模》答卷评分标准数学模型（30分）求解方法（30分）结果与分析（30分）总体印象（10分）总分总分人得分B题：空调的购买策略摘要夏天到了，各商场都加大了对空调的宣传力度，展开了新一轮的“空调大战”。本文研究有关市民购买何种空调的问题。从不同的出发点构建一下数学模型。采用层次分析法模型的核心思想，由于人们在处理这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少、有大有小，在我们选择要购买何种款式的空调时，比如我们选定格力、海尔、奥克斯、美的、海信五个品牌的空调，通常我
2、们会根据诸如价格、耗电、能效等级、售后服务、噪音、和款式等这些准则去反复比较这五种候选空调。将决策问题分为三个层次，最下层为方案层记为（CltC,C3.C,C5）选择空调。其次，屮间层为准则层，对每一个方案将五个准则进行对比，运用成对比较矩阵和权向量，并作一致性检验，最后将这两个层次的比较判断进行综合，在格力、海尔、奥克斯、美的、海信中确定那个是最佳的。最后将模型进行评价和推广。一、问题重述夏天到了，各商场都加大了对空调的宣传力度，展开了新一轮的空调大战，空调的款式和功能也吸引着我们消费者，那么作为消费者的我们，又如何从众多选择屮选择岀最让我们满意的呢？假定你要购买一台适合20nr面
3、积使用的变频空调。经过考察初步选定格力、海尔、奥克斯、美的、海信五个品牌的空调。其中适合20时面积的各品牌的五种空调的各项指标如下表。根据我们自己的情况,建立数学模型分析哪一种空调更加适合自C的需要。品牌价格（元）耗电（瓦/小时）能效等级售后服务噪音款式格力318610803好25-37好海尔305010503很好23-39一般美的298812704较好37-38较好奥克斯210012504一般30-41一般海信269011503较好25-39好二、问题分析2.1建立层次结构模型在深入分析实际问题的基础上，将购买空调有关的各个因素按照不同属性门上而下的分解成若干层次，同一层的诸因素从
4、屈于上一层的因素或对上一层冇影响，同时乂支配下一层的因素或受到下一层因素的作用，而让同一层的各因素之间尽量相互独立。因此用此种方法把各个因素划分的层次如下：最上层为口标层,即为选择空调。最下层为方案层，有Pl、P・2、P：＜、P"P：、五种可供选择空调，中间为准则层，有价格、耗时、能效等级、售后服务、噪咅、款式7个准则，各层次间的联系用相连的直线表示，口标层准则层方案层（上图表仅画出了价格和能效等级与个空调的联系）综合这些因素以及这些准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，由于这些权重在人的思维过程中通常是定性的。2.2成对比较矩阵和权向量消费者凭自己的经验和知识进行判断，通
5、过各层次之间的对比，从中找出最优决策。三、符号假设0；表示供选择的五种空调。G：表示准则层的六个因素。alj：表示G和C」对0的影响之比。四、模型的建立与求解每次取两个因索G和5,用弧表示G和Cj对0的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵A—（Ozij）nXn>知>0,aji=l/ajj（1）表示。显然有a^l,则用G,……,&依次表示价格、耗电、能效等级、售后服务、噪音、和款式六个准则，设某消费者用成对比较法得到的成对比较矩阵为'11/24332"2175561/41/711/21/31(2)A=1/31/72111/41/31/731121/21/7141/21_a沪1/2表示
6、价格G与耗电C2对选则空调这个目标0的重要性之比为1:2,a13=4表示价格G与等效能级，G之比为4:1,出此可以看出此人在选择空调时，价格因素最重，能效等级次Z,耗电再次Z。由（2）式得,A的最大特征根入=4.135,归一化的特征向量w=（0.261,0.278,0.034,0.089,0.112,0.135）T.由一致性指标CT=X-n/n-l得00.017,在表中可查的RI二1.14,由CR=CI/RI得CR=O.017/1.14=0.018<0.1,一致性检验通过,上述权向量w可作为权向量。在选择购买何种詁牌的空调吋，我们已经得到了第2层（准则层）对第-•层（目标层）的权向量
7、，记作W⑵二（w⑴，…,w⑹）1用同样的方法构造第三层队第二层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为■12532■143251/213421/41243Bi二1/51/3125b2=1/31/21651/31/41/2111/21/41/6121/21/21/5111/51/31/51/21j1/71/61/51/4_「111/211/2_711/31/41/51111/31/2B.3二6311/21/3b4二2111/215421113211/2_453
