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1、江苏省马坝高级中学2018-2019学年第二学期期中考试高二数学试题(理科)(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．若，则▲．2．用反证法证明“如果a＞b，那么a3＞b3”时假设的内容为___▲_____．3.推理：“①3是整数；②3是自然数；③自然数是整数”中的小前提是____▲____(填序号)．4.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的多项式是______▲______.5.已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为▲.6.已知△AB
2、C的三个顶点为A(3,3,2),B(4,－3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为▲7.设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则
3、(1－z)·
4、＝▲.8．设，f()-f()等于▲．9.已知i是虚数单位，＝___▲_____.10．用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取▲.11.空间三点A(1,–1,a),B(2,a,0),C(1,a,–2),若(–2)与垂直,则实数a等于▲.12．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则f201
5、9(x)的表达式为_▲____.13.平行六面体ABCD–A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长度等于▲.14.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有___▲___种．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)(1)计算：；（2）解方程：.16.(本小题满分14分)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i
6、，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，（1）计算：；（2）求λ＋μ的值．17.(本小题满分14分)用数学归纳法证明:当时,.18.(本小题满分16分)阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:，，由得，令,,有，，代入得.(1)利用上述结论，试求的值；(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:.19.(本小题满分16分)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．20
7、.(本小题满分16分)如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.江苏省马坝高级中学2018-2019学年第二学期期中考试高二数学试题(理科)参考答案一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1、112、3、②4、5、16、37、8、9、10、511、12、13、14、9二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
8、骤．15.(本小题满分14分)(1)计算：；（2）解方程：.解（1）1568，（2）516.(本小题满分14分)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，（1）计算：；（2）求λ＋μ的值．解：（1）（2）由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝1.17.(本小题满分14分)用数学归纳法证明:当,.证明 (1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝
9、，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立．18.(本小题满分16分)阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:，，由得，令,,有，，代入得.(1)利用上述结论，试求的值；(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:.(1)由题可得sin15∘+sin75∘=2sin150+7502cos150−7502=2sin450cos(−300)=6√2(2)根据两角和
10、与差的余弦公式，有：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ…①cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ…②由①−②得cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ…③令α+β=A，α−β=B有α=A+B2，β=A
