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1、旋转及其应用难点突破专项练习1.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形。他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕力3的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG。请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示。请将其分割后拼接成一•个平行四边形。要求：在图3屮画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件••的平行四边形即可）；.（2）如图4,在面积为2的平行四边形ABCD屮，点E、F、G、H分别.是边
2、AB.BC、CD、D4的中点，分别连接/F、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）。••图3图42.数学活动课上，老师捉出这样一个问题：如果AB=BC,ZABC=60°fZAPC=30%连接PB,那么刃、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化处理，让点尸在3/1延长线上(如图1),得到了一个猜想：PA1+PC1=PB2o小东：我假设点P在ZABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△丹B错误
3、!未找到引用源。后得到APCB,并且可推出,APCPf错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法。这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：(1)如图2,点卩在ZABC的内部，①刃=4,PC=2也,PB=o②用等式表示丹、PE、PC之间的数量关系，并证明。(2)对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明-。3.(1)如图1,在正方形ABCD中，E是ABAl一点，F是延长线上一点，且QF=BE。求证：CE=CF；(2)如图2,在正方形ABCD中，E是AB一点，G是AD1.一点，如果上
4、GCE=45。,请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD。(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3,在直角梯形ABCD中，AD//BC(BCAAD),ZB=90。，AB=BC,E是4B上一点，且ZDCE=45。，BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积。旋转及其应用难点突破专项练习参考答案1.解：（1）拼接成的平行四边形是ABCD（如图3）。2（2）正确画出图形（如图4）,平行四边形MNPQ的面积为一。1.(1)①2衙；②PA2+PC2=PB2O证明：如图，作ZPBPf=ZABC=60°.且使BP'=BP,连接PC.P'P°AZl
5、=Z2o•:AB=CB,:.4ABP空HCBP，。:.PA=P,C,ZA=ZBCP在四边形ABCP+,•・・ZMC=60。，ZJFC=30°,・・・ZM+ZBCP=270。。・•・ZBCP+ZBCP=2W:.ZPCPf=360°-(ABCP'+ZBCP)=90。。•••△PBP是等边三角形。:・PP=PB。在RtZSFCP中，PyC-+PC1=P'P?,:.PA2+PC2=PB2.(2)点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例如下一:如图，当点P在CB的延长线上时,结论为P^2+P52=PC2o1.(1)证明：在正方形ABCD屮，•:BC=CD,ZB
6、=ZCDF,BE=DF,•••△CPE竺△CDF。:.CE=CF.(2)证明：如图2,延长/D至F,使DF=BE,连接CF。由(1)知.厶CBE处CDF,:.ZBCE=ZDCF。:.ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD即ZECF=ZBCD=90°,又ZGCE=45。，・・・ZGCF=ZGCE=45。。••・・CE=CF,ZGCE=ZGCF,GC=GC,・・・/XECG竺/XFCG,:.GE=GF,:.GE=DF+GD=BE+GD0(1)解：如图3,过C作CG丄MD,交/D延长线于点G。在直角梯形ABCD中，、：AD〃BC,:.ZA=ZB=90%又ZCGM=90
7、。，4B=BC,・・・川边形ABCD为正方形。:.AG=BC.已知ZDCE=45。,根据(1)(2)可知，ED=BE+DG°所以10=4+DG,即DG=6。设4B=x,则A£=x~4fAD=x~6在RtAJED中，・・・・DE1=AD1+AE2,BU102=(x-6)2+(x—4)2。解这个方程，得：x=12,或x=—2(舍去)。:.AB=2o所以直角梯形ABCD的面积为S=丄(AD+BC)AB二丄(6+12)x12=108。22
