第十三章 13.1 第2课时

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1、第2课时　参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程．2．常见曲线的参数方程

2、和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)双曲线－＝1(a>0，b>0)(φ为参数)1．直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率．解　将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.2．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值．解　直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.∵l1与l2垂直，∴(－

3、)×(－2)＝－1⇒k＝－1.3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求

4、PF

5、的值．解　将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知

6、PF

7、＝3－(－1)＝4.4．(2016·北京东城区模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长．解　曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，

8、直线l的普通方程为3x－4y＋3＝0.圆心到直线的距离d＝＝.∴直线l与曲线C相交所截的弦长为2＝.题型一　参数方程与普通方程的互化例1　(1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求

9、AB

10、的长．解　(1)圆的半径为，记圆心为C(，0)，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos2θ＝cos2θ，yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．

11、所以圆的参数方程为(θ为参数)．(2)直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以

12、AB

13、＝.思维升华　消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)

14、和g(t)的值域，即x和y的取值范围．　(1)求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解　(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0；将消去参数α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．(2)直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a

15、＝3.题型二　参数方程的应用例2　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，解得－2≤a≤2.思维升华　已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．　在平面直角

16、坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，求曲线C1与C2的交点坐标．解　曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)．曲线C2的普通方程为x－y－1＝0.解方程组得∴曲线C1与C2的交点坐标为(2,1)．题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用例3　(2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2cosθ.(1