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《高考数学难点突破难点13数列的通项与求和[训练]》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、难点13数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数的函数,是函数思想在数列中的应用•数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前〃项和S”可视为数列{S”}的通项。通项及求和是数列中最基木也是最重要的问题z—,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有关间题,为其提供行Z有效的方法.•难点磁场(★★★★★)设{弔}是正数组成的数列,其前刃项和为S”,并且对于所有的自然数刃,如与2的等差屮项
2、等于S〃与2的等比中项.(1)写出数列⑷}的前3项.(2)求数列{加的通项公式(写出推证过程)⑶令^=^(—+—求1曲25宀(bj+b2+b3+--+bn—n).•案例探究[例1]已知数列{给}是公差为d的等差数列,数列{仇}是公比为q的(gWR且gHl)的等比数列,若函数7(x)=(x—I)2,1),03=/1〃+1),b、=f(q+l),b3=flq—1),(1)求数列{%}和{几}的通项公式;(2)设数列©}的前n项和为S”,对_切wEN*,都有勺+仝+…+乞二如
3、成立,求bb2cnlim刃—>
4、8命题意图:本题主耍考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限,以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题冃.知识依托:本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显,而⑵屮条件等式的左边可视为某数列询/7项和,实质上是该数列询77项和与数列{如的关系,借助通项与前"项和的关系求解°是该条件转化的突破口.错解分析:本题两问环环相扌II,(1)问是基础,但解方程求基木量0、仞、d、g,计算不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法:本题(1)问运用两数思想转化为方
5、程问题,思路较为白然,⑵问“借鸡生蛋”构造新数列{d〃},运用和与通项的关系求出d“,丝丝入扣.解:(l)Td
6、〒/(d—1)=(〃一2)2,673=/(t/+l)=6/2,.:—GI=孑~(d—2)2=26/,*.*d=2,・°・an=ai+(n—)d=2(n—1);又b=j{q+1)=『,bpflq—1)=(q—2)2,―=cf,由gGR,且gH1,得2,bq•bn=b•q"i=4•(_2)”1⑵令字=d”则〃]+〃2+・・・+〃“=如1,(/7eN*),bn・・.d“=G”+l—G“=2,
7、—=2,BPc„=2••(—2)w_1;Sn=—[1—(—2)"].bn3(一(”lim—"TOOd2/73[例2]设久为数列g的前〃项和,九玄ST,数列⑹的通项公式为i+3;(1)求数列{吊}的通项公式;(2)把数列⑺“}与{仇}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{比}的通项公式为必=3加
8、;(3)设数列{如的第n项是数列&}中的第尸项,5•为数列{如的前r项的和;D”为数列{比}的前”项和,T尸Br—D”,求lim丄I."too(a”)命题意图:本题考查数列的通项公式及前〃项和公式
9、及其相互关系;集合的相关概念,数列极限,以及逻辑推理能力.知识依托:利用项与和的关系求给是本题的先决;⑵问中探寻{冷}与{%}的相通之处,须借助于二项式定理;而(3)问中利用求和公式求和则是最基木的知识点.错解分析:待证通项^,=32m+,与%的共同点易被忽视而寸步难行;注意不到r与n的关系,使乙中既含有弘乂含有尸,会使所求的极限模糊不清.技巧与方法:⑴问中项与和的关系为常规方法,(2)问中把3拆解为4一1,再利用二项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔;(3)问屮挖掘出刃与尸的关系,正确表示B
10、,.,问题便可迎刃而解.33解:(1)由An=-(af—),可知/”+]二三(a”+
11、—1),22*.an+-an-=—(如一⑷),即也如=3,而a}=A]=—(a〕一1),得%=3,所以数列是以3252为首项,公比为3的等比数列,数列{山的通项公式如=3".(2)V32w+,=3・32w=3・(4-1)2,,=3・[4%+C;”・42n~-)+-+C^1・4・(一1)+(一1卢]=4/7+3,・・・3“+l丘{仇}.而数32"=(4—l)2"=4"+C;“・4*】・(一l)+・・・+C;T・4
12、・(一1)+(—1)2"=(4后1),・・・3%{仇},而数列佃}二{%+i}U{d},・・・必=3如Q2w+lq(1)由3乃小=4•厂+3,可知c——,4+7?7272—吕(3)飞(97),・・・姑心+4+3)=心+»3沖-3严92z;+1+4・3如-21278=2.34«_l*.3^+2,(aw)4=34w,oo4lim"TOOTn=Br-Dn=y(9w-l)•锦囊妙计1•数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元