高考数学难点突破难点13数列的通项与求和[训练]

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1、难点13数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数的函数，是函数思想在数列中的应用•数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前〃项和S”可视为数列｛S”｝的通项。通项及求和是数列中最基木也是最重要的问题z—,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有关间题，为其提供行Z有效的方法.•难点磁场(★★★★★)设｛弔｝是正数组成的数列,其前刃项和为S”,并且对于所有的自然数刃,如与2的等差屮项

2、等于S〃与2的等比中项.(1)写出数列⑷｝的前3项.(2)求数列｛加的通项公式(写出推证过程)⑶令^=^(—+—求1曲25宀(bj+b2+b3+--+bn—n).•案例探究［例1］已知数列｛给｝是公差为d的等差数列，数列｛仇｝是公比为q的(gWR且gHl)的等比数列,若函数7(x)=(x—I)2,1),03=/1〃+1)，b、=f(q+l),b3=flq—1),(1)求数列｛%｝和｛几｝的通项公式;(2)设数列©｝的前n项和为S”，对_切wEN*,都有勺+仝+…+乞二如

3、成立，求bb2cnlim刃—>

4、8命题意图：本题主耍考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题冃.知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而⑵屮条件等式的左边可视为某数列询/7项和，实质上是该数列询77项和与数列｛如的关系，借助通项与前"项和的关系求解°是该条件转化的突破口.错解分析：本题两问环环相扌II,(1)问是基础，但解方程求基木量0、仞、d、g,计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法：本题(1)问运用两数思想转化为方

5、程问题，思路较为白然，⑵问“借鸡生蛋”构造新数列｛d〃｝,运用和与通项的关系求出d“，丝丝入扣.解：(l)Td

6、〒/(d—1)=(〃一2)2,673=/(t/+l)=6/2,.:—GI=孑~(d—2)2=26/,*.*d=2,・°・an=ai+(n—)d=2(n—1)；又b=j｛q+1)=『，bpflq—1)=(q—2)2,―=cf,由gGR,且gH1,得2,bq•bn=b•q"i=4•(_2)”1⑵令字=d”则〃]+〃2+・・・+〃“=如1,(/7eN*),bn・・.d“=G”+l—G“=2,

7、—=2,BPc„=2••(—2)w_1；Sn=—[1—(—2)"].bn3（一(”lim—"TOOd2/73［例2］设久为数列g的前〃项和，九玄ST，数列⑹的通项公式为i+3;（1）求数列｛吊｝的通项公式;（2）把数列⑺“｝与｛仇｝的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列｛比｝的通项公式为必=3加

8、;（3）设数列｛如的第n项是数列&｝中的第尸项,5•为数列｛如的前r项的和;D”为数列｛比｝的前”项和，T尸Br—D”,求lim丄I."too（a”）命题意图：本题考查数列的通项公式及前〃项和公式

9、及其相互关系；集合的相关概念,数列极限，以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求给是本题的先决；⑵问中探寻｛冷｝与｛%｝的相通之处,须借助于二项式定理；而（3）问中利用求和公式求和则是最基木的知识点.错解分析：待证通项^,=32m+，与%的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使乙中既含有弘乂含有尸，会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：⑴问中项与和的关系为常规方法，（2）问中把3拆解为4一1,再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；（3）问屮挖掘出刃与尸的关系，正确表示B

10、,.,问题便可迎刃而解.33解：（1）由An=-（af—）,可知/”+］二三（a”+

11、—1）,22*.an+-an-=—（如一⑷），即也如=3，而a｝=A］=—（a〕一1）,得％=3,所以数列是以3252为首项，公比为3的等比数列，数列｛山的通项公式如=3".（2）V32w+,=3・32w=3・（4-1）2,,=3・［4%+C；”・42n~-）+-+C^1・4・（一1）+（一1卢］=4/7+3,・・・3“+l丘｛仇｝.而数32"=（4—l）2"=4"+C；“・4*】・（一l）+・・・+C；T・4

12、・（一1）+（—1）2"=（4后1）,・・・3%｛仇｝,而数列佃｝二｛%+i｝U｛d｝,・・・必=3如Q2w+lq(1)由3乃小=4•厂+3,可知c——，4+7?7272—吕(3)飞(97),・・・姑心+4+3)=心+»3沖-3严92z;+1+4・3如-21278=2.34«_l*.3^+2,(aw)4=34w,oo4lim"TOOTn=Br-Dn=y(9w-l)•锦囊妙计1•数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元