高二数学《不等式》讲义

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1、高二数学《不等式》讲义【学习目标】1.了解实数运算的性质与大小顺序Z间的关系.2.会用差值法比较两实数的大小；3.掌握不等式的基木性质，并能运用这些性质解决冇关问题.【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任总xwR,则x>0(x为止数)、x=0^x<0(兀为负数)三种情况冇H.只冇一种成立。两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：q>0,/?>0=>d+b>0；a<0,b<0^>a+b<0②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：ci>0,h>0ah>Q；a<0,bab>0③两个界号实数相乘，积是负数符号语言：a>0,/?<0=>

2、t/Z?<0④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：xg7?=>%2>0,x=0u>F=0.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数b®a-b〉0od〉b；②d-bvOoavb；③o—b=0od二b.对于任意实数ci、h,a>h,a=hiabobb,b>c=>a>c(2)町加性：a>boa+c>b+c(cWR)c〉0=>oc

3、>be(3)可乘性：a>b,ac=bcc<0^>acb,c>d=>a+ob-^-d.(2)nJ*乘法则：a>b>O,c>d>0a•c>b-d>0(3)可乘方性：a>b>0,nwN*na”>b">0(4)可开方性：a>b>O,neN+,n>l=>Va>Vb要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式b,可以作差a-b后比较a-b与0的关系，进一步比较。与b的大小。①a-/?〉Ooa>b；®a-hv0oavb；③a—b=0oa=b。作商法：任意两个值为正的代数式b,可以作商Q冷后比较纟与

4、1的关系，进一步比较a与b的人小。ba,.①一〉lod〉b；b，-.ai②一vloavb；b③纟=1oa=b.b中间量法：若a>b.H.b>c,则a>c(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是人于、等于还是小于0；最后下结论。要点诠释「三步一结论"。这里“定号'是口的，“变形”是关键过程。【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，宗内而积

5、共180m2,拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为18加彳，可住游客5人，每名游客每犬住宿费40元；小房间每间面积为15m2,可住游客3人，每名游客每犬住宿费50元；装修人房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出來(代数化)，把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。【解析】假设装修大、小客房分别为兀间，y间，根据题意，应由下列不等关系：(1)总费川不超过8000元(2)总面积不超过180加S(3)人、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有：1000

6、兀+600yS800018x+15y<180x>0(xwN*)y>0(yeN°)5x+3y<406x+5y<60x>0(xwM)y>0(ygN、此即为所求满足题意的不等式纽【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型屮的量具休化，就叮以得到相应的数学问题，然后运川数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.举一反三：【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万木。据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后朵志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？r-25【答案】设杂志社

7、的定价为x元，则销售的总收入为(8—^-x0.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x-2.50.1x0.2)x>20类型二：不等式性质的应用例2・対于实数a,b,c判断以下命题的真假(1)若a>b,则acbc2,则a>b;(3)若a

8、a

9、>

10、b

11、;(5)若a>b,则a>0,b<0.ah【思路点拨】木类题一般采用不等式性质法或者比差法O【解