弹性力学与有限元分析试题及参考答案

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1、弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1），，；（2），，；其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程；（2）在区域内的相容方程；（3）在边界上的应力边界条件；（4）对于多连体的位移单值条件。（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系

2、数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量，，，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得51由此解得，，，3、已知应力分量，，，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量，，，代入平衡微分方程可知，已知应力分量，，一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：将已知应力分量，，代入上式，可知

3、满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1），，；（2），，；（3），，；其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即51将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则，，（1分）。5、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：将应力函数代入相容方程可知

4、，所给应力函数能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为，，对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，，，，，；下边，，，，，；左边，，，，，；51右边，，，，，。可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：将应力函数代入相容方程可知，所给应力函数能满足相容方程。

5、由于不计体力，对应的应力分量为，，对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，，，，，；下边，，，，，；左边，，，，，；右边，，，，，。可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。517、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。Oxybqrg解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式将上式代入应力函数所应满足

6、的相容方程则可得2.3直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。若按一个单元计算，水的容重，三角形平面构件容重,取泊松比=1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标（1）求形函数矩阵：51图（2.14）形函数:所以：形函数的矩阵为：51（1）刚度矩阵可得：51（3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：水压力和构件厚分别为：自重为W与支座反力：所以：51由得到下列矩阵方程组：化简得：可得：将代入下式：51固定面上的反力：从而可得支座反力为：这是y的线性方程，但相容方程要求

7、它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即，这两个方程要求，代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得对应应力分量为以上常数可以根据边界条件确定。51左边，，，，沿y方向无面力，所以有右边，，，，沿y方向的面力为q，所以有上边，，，，没有水平面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即将的表达式代入，并考虑到C=0，则有而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即，将的表达式代入，则有由此可得，，，，应力分量为,,虽然上述结果并不

8、严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果