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1、微分方程中积分因子的求法摘要：全微分方程可以通过积分求宙通解。那么就非全微分方程来说，积分因子有特别重要的意义。本文主要就积分因子的两种求法作简单介绍。关键词：积分因了；全微分方程；微分方程；方程1引言首先给出两个定义：定义1:对称形式的方程P(x,y)dx+Q(兀,y)dy=0(1)若P,Q,学，学在某一个单连通区域G内有定义并且连续，且dydxd^dQdy~dx则称方程(1)为全微分方程.定义2：(2)用积分因子法把方程化成新的全微分方程，若方程(1)两边乘上“(x,y)得//(x,y)P(x,y)dx+y)Q
2、(x,y)dy=0若方程(2)满足色如=电型，则称“(兀丿)为方程(1)的积分因了。dydx我们知道，如果i阶微分方程p(x,y)dx+0(x,y)dy=0(1)不满足全微分方程的条件但在乘以一个积分因了“(x,y)后，能成为全微分方程。则可按全微分方程求解。因此，寻找积分因子解一些全微分方程就显得十分重要。对于一些简单的全微分方程可以通过观察的办法来求得积分因子。但对于一些比较复杂的微分方程用观察的办法则是很困难的。对此，我们就“如何寻找积分因子”的问题做尝试性的探索，探讨。归纳出“指数函数法”和“分组法”。2主
3、要结论2.1指数函数法我们知道，求微分方程(1)的积分因子一般归纳为求一阶偏微分方程唾一叽启_型）（3）dxdydydx的解，而解方程（3）—般不比解方程（1）容易。但是对于具有某种特殊式的积分因子，方程（3）可以化成容易求解的常微分方程。从而求出方程（1）的积分因子。下而寻求方程（1）具冇形如“=“（0）的积分因子的条件，-其屮0=给定函数。将“心）代入方程（3）注意到学二些.挈舉=字.貿便得dxdcodxoyd（odyQ6coPocod“_8P8Q（百一莎）•乔卡（亦一忘）’SPdQ(4)空=“（6&dcoQd
4、coPdcooxdy8P_dQ(5)3ySx（、叫理=屮3oxdy⑸是方程（1）具有积分因子“=“（e）的条件。此时有也=卩屮3分别求出（取c二1）dco得“=』（皿（6）其中co=69（x,y）2.1.1特殊结论在应用上面的方法求积分因子时要设法选取满足条件（5）的函数e=兀,刃代入（6）式中pO）并用e（x,y）代替e进行计算，以下是69=co（x,y）的一些特殊情形：（1）取co=x方程（1）具冇形如“二“（兀）的积分因子的条件是：dP_8Q@^卄）（7）Q目（昨（英屮^=X）（2）取e=y方程（1）具有形如
5、“=“（刃的积分因子的条件是：8PcQ且“（其中co=y）⑶取e=x+y方程（1）具有形如“=的积分因子的条件是:dP8Q埜旦"+刃Q-P■且“=(其中69=X+y)⑷取=方程（1）具有形如“=刃的积分因了的条件是:仃0)且“=』5少（其中a）=x-y）⑸取6O=X2+/方程（1）具有形如“=“（/+，）的积分因了的条件是:d^_8Q(11)dydxz7八卡一=心+厂)Qx一Py且“=』（皿（其中血=兀2+护）⑹取^=X2-y2方程（1）具有形如“二“（F—y2）的积分因子的条件是:dP_dQ(12)8y8x/22
6、、-—=0(x-y)Qx+Py且—』（皿（其屮力二/一）,2）⑺取co=xy方程（1）具有形如“=“（x.y）的积分因子的条件是:d^dQ竝卫=心)Qy-Px且“(其中co=xy)⑻取⑵二兰方程(1)具有形如“=兰)的积分因子的条件是:d^_dQdydxQx-Py»其中"兰)y2.1.2应用举例例1求方程y(l+xy)dx+(—x2y+y+l)dy=0的积分因子.4^解：rti(2)存在形如“=“(刃的积分因子例2求方程(-2%+—!—)dx+(-x+y+—-—)dy=0的积分因子.兀+yx+y解：由(3)存在形如
7、“=/万=0"=x+y的积分因子.例3试用积分因子解法解线性方程—=p(x)y+ew.dx解:该线性方程可化[PMy+Q(x)]dx-dy=O这时令M二p(x)y+Q(x)N二-1则dMdN右8ydx=-PMN因仏线性方程有只与x冇关的积分因子^i=e'^x)dx・以“=乘方程两边得P(x)e^PMdxydx-e~^PMdxdy+Q(x)e~^FMdxdx=0或d(ye〒g-g)e-pg=O因此,方程的通解为ye^Mdx-Q^PMdxdX=c或尸丿皿(0(兀)/阳気+。)・22分组分另lj求因子法冇些比较复杂的微
8、分方程，直接求积分因子较困难。对此，可将方程的一边先分组分别求各组的积分因子，由此再求出全微分方程的积分因子，即通过观察法进行“分项组合”而求出积分因子。下面通过例子说明。例4将(片+卩2皿+(0+02呛=0改写为(P}dx+Qdy)+(P2dx+Q2dy)=0.设“申分别是上述方程左边部分的枳分因子，即是：比恥+比Q、dy=dU、.jLi2P2dx+/J2
