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1、数学系毕业论文张俊学号：080301127池州学院CHIZHOUUNIVERSITY毕业论文论文题冃：统一方程的两种解法以及满足一定条件的非线性微分方程的求解姓名：张俊学科专业：数学教育指导教师：桂旺生完成时间：2011年5月15H摘要木文首先引入统一方程dydxP(x)dxnP(x)yyQ(x)F(ye),利用变量代换法和常数变易法求出通解，并指岀两种方法的关系。根据作为统一方程特例的Bernoulli方程的求解方法证得非线性微分方程dydxP(x)f(y)Q(x)g(y)经函数变换化为一阶线性微分方程的充分必要条件和化为Bernoulli方程的充分必要条件
2、。关键字：变量代换法；常数变易法；Bernoulli方程；非线性微分方程I忖录第一章引言1第二章定义2第三章统一方程的两种解法33.1变量代换法33.2常数变易法33.3例题解析5第四章主耍定理及例子7结论11参考文献1211池州学院毕业论文第一章引言在求解一阶町分离变量方程、齐次方程、线性方程和Bernoulli方程等一阶微分方程吋，通常使用变量代换法和常数变易法。本文着重通过对Bernoulli方程求解方法的分析，发现一些可化为一阶线性微分方程和Bernoulli方程的非线性微分方程，因此，这类非线性微分方程便可以川变量代换法和常数变易法求解。1第二章定义
3、第二章定义称dydxP(x)dxnP(x)yyQ(x)F(ye)(1)为统一方程，其中P、Q、F均为其变量的连续函数，n为常数。一阶可分离变量方程、齐次方程、线性方程、Bernoulli方程是(1)的特例。事实上，n=0,P(x)0,eF(u)1,g(dydxyx)'P(x)dx1,dydxQ(x)F(y)为可分离变量方程;n=0,lxdydxP(x)yQ(x)为非齐线性方程;P(x)yx)n,n=0,Q(x)1,令yxF(,dydxg(yx)为齐次方程;F(u)1,P(x)P'(x),P(x)yyQ(x)为Bernoulli方程。池州学院毕业论文第三章统一•
4、方程的两种解法3.1变量代换法在求解齐次方程dydxalxblycla2xb2yc21dydxg(yx),这里g(u)是u的连续函数和(al,a2,bl,b2,cl,c2均为常数)中我们利用变量代换求解微分方程：以为例，作变量代换u即yu(x),于是dydxxdudxudydxg(yx)(3.1.1)yx(3.1.3)(3.1.3)将(3.1.2),(3.1.3)代入(3.1.1)，则原方程变为xdudxug(u)(3.1.4)(2.1.4)为可分离变量方程，分离变量后积分得(2.1.1)的通解g(u)ududxxc,uyx[2]卜-而给出方程(1)的求解过程
5、。P(x)dx作为统变换yue(2)将方程(1)化为对分离变量变量方程ueP(x)dxuennP(x)dxQ(x)F(u)(3)分离变量后积分，得(1)的通解udunF(u)Q(x)e(ln)P(x)dxc,uyeP(x)dx(4)3.2常数变易法3第三章统一方程的两种解法在求解一阶线性微分方程dydxP(x)yQ(x)(3.2.1)这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数。若Q(x)0,变为dydxP(x)y(3.2.2)将(3.2.2)分离变量后再积分，可得通解yce若Q(x)0,令yc(x)ep(x)dxP(x)dx(3.2.3)(3.2.
6、4)微分z,得P(x)dxdc(x)P(x)dxec(x)P(x)e(3.2.5)dxdxP(x)dxdc(x)Q(x)e将(3.2.4),(3.2.5)代入(3.2.1)整理得dxdyP(x)dxP(x)dx积分并代回原变量，得ye(Q(x)edxc),这就是方程(3.2.1)的通解。[3]这时我们就问，怎么想到先解出与(3.2.1)对应的齐次方程(3.2.2),然后，又如何想到变易其通解中的常数c为函数c(x),而最后果真能解出原方程(3.2.1)的呢？事实上，首先，因为齐次方程(3.2.2)是可分离变量方程，容易解出；其次，解微分方程的方法是用微分的逆运
7、算，即积分，由于解式(3.2.3)中的常数c是积分运算产身的，它正是齐次方程(3.2.2)右端的“0”的积分，而方程(3.2.1)的右端是非零函数，其积分应是x的函数，由此口然想到将(3.2.3)中的常数c变易为函数c(x),即(3.2.4)式，就可能是(3.2.2)的解,c(x)到底取何种形式,就看代入方程(3.2.1)后c(x)能否被确加，这就是发现解方程(3.2.1)的常数变易法的一种可能途径。下面给出方程(1)的求解过程。先解与(1)对应的“齐次”方程dydxP(x)y0(5)4池州学院毕业论文P(x)dx解得通解yce(6)变易(6)中的常数c为x的
8、函数c(x),即P(x)dxyc(x)
