数学必修1函数与应用问题教案1

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数学必修1:函数的应用举例【要点导学】1、数学模型数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度來反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述•数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式等等.2、数学模型方法数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型來究实际问题的一般数学方法.3、求解实际问题的基本步骤以函数为数学模型解决实际问题是数学应用的一个重要方血，主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题.使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：［来源:学科网］⑴审题：通过阅读，理解关键词的意义，明确变虽和常虽，理顺数屋关系，弄清题意,明白问题讲的是什么.⑵建模：将文字语言转换成数学语言，用数学式子表达数量关系，利用数学知识建立相应的数学模型•⑶求模：求解数学模•型，得到数学结论.［來源:Zxxk.Com］⑷还原：将用数学方法得到的结论，回归实际，还原为实际问题的意义.4、木节课的函数应用是指利用函数知识求解实际问题.【范例精析】C例1要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的鬪弧半径不允许小于600加.如果某段铁路两端相距156m,弧所对的圆心角小于180；试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围(梢确到lm).思路剖析先以弓形的高x为白变量，半径R为函数，建立R关于兀的函数关系式，然后再利用圆弧半径不小于600加得［来源:学科网到关于x的不等式，求出x的范围.解题示范如图，设圆弧的半径0A二0B二Rm,鬪弧弓形的高C)=xm,01194.9应舍去.2x答：圆弧弓形的高的允许值范围是(0,5](单位：米).回顾反思如何依题意寻找关于兀的不等式，是求解本题的关键，这里要抓住两方面：一是鬪弧半径不小于600m,二是x2时,y=—55.Xc一v才k,a(55+6Z)(012).(2)当a=29,兀二3时，y=29-—(55+29)=8,12即3R加上空的温度为8°C・X答：所求的关系式为y=Q—+⑵'，在35上空的温度是8°C.-55(x>12).回顾反思1、在求解本题吋，要抓住“上升到12k加为止温度的降低大体上与升髙的距离成正比”这句关键性的话，它表达了两层意思：一是温度的降低与升高的距离成正比; 二是“温度的降低与升高的距离成止比”的前提是“上升到2km为止”，故函数的定义域为xg[0,12].2、数学模型中的自变量的取值范围，一方面要使数学关系式有意义，另一方面还必须满足实际问题的意义.例31980年我国人均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则年平均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2010年人均收入至少多少美元？思路剖析按平均增长率对求得逐年的人均收入，通过解方程可计算平均增长率.解题示范设年平均增长率为兀，则1981年人均收入为25.5(1+X),1982年人均收入为255(1+%)2,2000年人均收入为依题意，得255(1+兀)2°二817,.•.(1+切2。=里2,255用计算器算得^=0.06=6%.设2010年人均收入为y美元，则y二255(1+6%)亠用计算器算得y=1464(美元).答：年平均增长率为6%,到2010年人均收入至少为1464美元.回顾反思在实际问题中，常常遇到冇关平均增长率(如复利、人口增氏率、产值增长率等)的问题，求解与平均增长率有关的实际应用问题时，常要用到公式y=N(1+pY,其中N表示原來产值的棊础数，卩为平均增长率，y表示对应于时间兀的产值，此公式称作复利公式，要掌握它的推导过程和实际应用.当"表示增长率时，/;>0；当表示折IH率时,p<0.例4某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产最为依据，用一个函数模拟该产品的月产最y与月份兀的关系，模拟函数可选用二次函数或/(x)=a・//+c(d,b,C为常数)，已知四刀份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由.思路剖析先利用待定系数法求出两个函数的解析式，再进行比较.解题示范设二次函数为g(x)=px2+qx+r.p=-0.05由已知得0时，/（兀）为增两数，则加须且只需满足50(1”)〉°m解得回顾反思00时，/（尢）为增函数，由此得到二次函数顶点的横坐标需满足的条件；二是不要把“销售总金额增加”错误地理解为“销售总金额比原来增加”，以致产生下面的错误解法：［來源:学科网］令/(兀)一Qb〉0,+100(1-m)x>0,・・・0<兀<100°_加)，m尽管答案一致，但纯属偶然.【能力训练】一、选择题1、我国工农业总产值从1980年到2000年的20年间实现了翻两番的目.标，若平均每年的增长率为X,贝IJ（）A、（1+x）,9=4B、（1+x）20=2C、（1+x）20=3D、（1+x）20=42、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低•若每隔5年计算机的价格降低丄，现在价格为8100元的计算机经过15年，其价格可降为（）3300元B、900元C、2400元D、3600元3、某金业生产总值的月平均增长率为P,则年平均增长率为（）A、PB、P12C、（1+P）12D、（1+P）12-14、某商品零售价2002年比2001年上涨25%,欲控制2003年比2001年只上涨10%,则2003年应比2002年降价（）A、15%B、12%C、10%D、5%5、一名退休职工每年获得一份医疗保障金，金额与他工作的年数的平方根成正比，如果多工作d年，他的保障金会比原有的多加元；如果多工作b（b^a）年，他的保障金会比原來的多〃元，那么他每年的保障金（用表示）是A、m2-n22(a_b)ram—brT2(am-bn)ccirT-bmD、2(bm—an)二、填空题6、有一块长为20厘米，宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为兀的 小正方形，然后折成一个无盖的盒子.则盒了的容积V与兀的函数关系式是.7、以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，肓径AB为底边的△PAB的面积S与高PD二X之间的函数关系式是38、储油30加的油桶,每分钟流出一加彳的油,则桶内剩余油量Q"）以流出时间4为自变量的函数的定义域为9、A、B两地相距160km（A地在B地的正北方向）,甲从A地以80km/s的速度向B行驶，乙从B地向正东方向以60Z:m/s的一速度行驶.若甲、乙同时出发，则它们之间的最小距离为10、“中华人民共和国个人所得税法”规定，薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全刀应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计篦：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元部分10%则每月工资为1900元的工人每月应纳税款元.三、解答题11、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货虽的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大？并求出最大利润.12、一根均匀的轻质弹簧，已知在600川的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100河的拉力作用下，长度为0.55〃，在300"拉力作用下长度为0.65,那么弹簧在不受拉力作用时，其口然长度是多少？13、如图，已知的半径为斤，由直径加?的端点〃作圆的切线，从圆周上任一点户引该切线的垂线，垂足为M,.连AP,设AP二x（1）写出AP+2PM关于兀的函数关系式/（兀）:（2）求此函数的最值.MR14、在底边BC=60,高AD二40的△ABC中作内接矩形MNPQ.设矩形的面积为S,MN=x,写出S与xZ•间的•函数关系式，并求其定义域和值域. 15、某林场现侑木材30000m如果每年平均增长5%,问人约经过多少年木材可以增