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1、网上搜集的计算行列式方法总结，还算可以.计算H阶行列式的若干方法举例EXL冈二摘要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是1】阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难,难于掌握。计算77阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。关键词：H阶行列式计算方法”阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）夕卜，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活
2、选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有吋会有不同的求解方法。下面介绍儿种常用的方法，并举例说明。1.利用行列式定义直接计算例1计算行列式0•••0100…200咕：•\!n-…0000…00n解久小不为零的项用一般形式表示为该项列标排列的逆序数TS—“一2…5）等于也二12色二2,故25_］）（〃_2）^=（-1）2n.2.利用行列式的性质计算例2一个刃阶行列式Dn=的元素满足勺=_勺„1,2,…，仏则称6为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明由=一cijj知au=一陽，即Clii~=0,/
3、=1,2,…故行列式D”可表示为0坷3•••4”~a20。23•••%Dfl=一®3•••_。23•••0•••••••••a3n•••~Cl~a2n~a3n•••0由行列式的性质A=Af°~a2一。13•••~aiHa20一如•••~a2nDtl=吗3•••。23•••0•••••••••~a3n•••%a2n•••00d
4、2a3%~a20a23%—(-l)n~ai3•••~a23•••0•••%•••-a-a2n~Cl3n0=(j)0当比为奇数时，得Dn=—D„,因而得Dn=0.1
5、.化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算屮的一个重要方法。例3计算72阶行列式ahb…bbab…bD=bha…b•••b•••b•••b•••••…a把第2,3,〃列都加到第1列上，行列式不变,解这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质,a+(n-V)bbb…•ba+(〃一l)bab…•bD=a+(〃一l)bb■■■a…•b•••a+(〃一l)b•••b...•♦♦•ab…•••••a1bb•••b1ab•••b=
6、[a+(n-l)b]1•••ba■■■•••■■■b■■••••1■■•••bb••••••■■•a1hh•••h0a-h0•••0=[a+S—l)b]00a-b•••0•••0•••0•••0•••••••••a-b=[a+(n-l)b](a-by-}得1.降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4计算〃阶行列式解将Dn按第1行展开Cl00…00a0…00a
7、0…000a…000a…0+(-ir+,■•■•••■■•■■•••■••■■■•■■•000…a000…a100…0=d”+(—1严(―1)"严=an-an-21.递推公式法递推公式法：对5阶行列式Dn找出D”与Dn-f或Dn与P/t-i,Dn-2之间的一种关系——称为逆推公式（其屮几・2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5证明X0-10…]■■■0000D=••••••••••••••••••n000•…X-1an%-1an-2.…a2Q]+X=xn+a}xn~l+a2xn~2+・・
8、・+aH_{x+an,(n>2)证明将D?按第1列展开得X-10…000X—1…00Dn=X••••••••••••••••••000…X-1an-lan-2色一3…a2d]+x-10…00+(-IfX•••—1…••••••0•••0•••00…X-17+xDn-由此得递推公式：Dn=6/zt+xDn_,,利用此递推公式可得勺+d"+S_2=…・=a”+a”—兀+…•+ci^x"i+x"6.利用范德蒙行列式例6计算行列式11…1X]+1无+1…兀“+1D=7兀]+X)••X；+兀2••7…兀+心•••71—
9、1H—2•7T—1,?
10、—2■“一1・n+兀1Xj+X7…暫+X,】解把第1行的T倍加到第2行，把新的第2行的一1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n-1行的一1倍加到第n行，便得范德蒙行列式11…1D=坷无2州X2••••••…£9…兀■■■=n(兀-n>i>j>/T£7.加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式屮增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7计算n阶行列式x
