建模仿真与优化设计2010

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1、《建模仿真与优化设计》第一部分中北大学张保成掌握优化问题的数学描述方法；2.熟练掌握常用优化算法。一优化模型的一般意义二非线性规划建模无约束最优化非线性规划建模有约束非线性规划四连续结构体建模与优化设计学习内容目的（一）优化模型的数学描述下的最大值或最小值，其中设计变量（决策变量）目标函数将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数在约束条件和可行域一优化模型的一般意义“受约束于”之意（二）优化模型的分类1.根据是否存在约束条件有约束问题和无约束问题。2.根据设计变量的性质静态问题和动态问题。3.根据目标函数和约束条件表达式的性质线性规划，非线性规划，二次规划，多目

2、标规划等。（1）非线性规划目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。（2）线性规划（LP）目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。（3）二次规划问题目标函数为二次函数，约束条件为线性约束5.根据变量具有确定值还是随机值确定规划和随机规划。4.根据设计变量的允许值整数规划（0-1规划）和实数规划。（三）建立优化模型的一般步骤1.确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。二、优化求解的数学基础函数的梯度泰勒展开二阶导数矩阵矢量的概念、运算和点积矩阵的运算和逆矩阵（一）方向导数和分别是函数f(x1,x2)在x0点处沿坐标轴x1和x2

3、方向的变化率故函数f(x1,x2)在x0(x10,x20)点处沿某一方向S的变化率为：称为该函数沿此方向的方向导数偏导数可以看作是函数沿坐标轴方向的方向导数，并有（二）梯度二元函数在点x0的梯度是由函数在该点的各一阶偏导数组成的向量。即:Sdx2x1x021x10x20x2x1X二、优化求解的数学基础设S方向单位向量则有函数的梯度具有以下性质：（1）函数在一点的梯度是一个向量。梯度的方向是该点函数值上升最快的方向，与梯度相反的方向是该点函数值下降的最快的方向，梯度的大小就是它的模长。（2）一点的梯度方向是与过该点的等值线或等值面的切线或切平面相垂直的方

4、向，或者说是该点等值线或等值面的法线方向。（3）梯度是函数在一点邻域内局部形态的描述。在一点上升得快的方向，离开该领域后就不一定上升得快，甚至可能下降。二、优化求解的数学基础（三）泰勒展开为了便于数学问题的分析和求解，往往需要将一个复杂的非线性函数简化成线性函数或二次函数。简化的方法可以采用泰勒展开式。由高等数学可知，一元函数f(x)若在点x0的邻域内n阶可导，则函数可在该点邻域内作泰勒展开：二元函数f(x)在点x0(x10,x20)也可以作泰勒展开，展开式一般取前三项，即：二、优化求解的数学基础将上式写为矩阵形式其中，G(x0)称为函数f(x1,x2)在点x0

5、处的二阶导数矩阵或海赛矩阵。二、优化求解的数学基础在优化计算中，当某点附近的函数值采用泰勒展开式作近似表达时，研究该点邻域的极值问题需要分析二次型函数是否正定。当对任何非零向量x使则二次型函数正定，G为正定矩阵二、优化求解的数学基础（四）二次函数当将函数的泰勒展开式取到二次项时得到二次函数形式。优化计算经常把目标函数表示为二次函数以使问题分析得以简化。在线性代数中将二次齐次函数称作二次型，其矩阵形式在优化计算中，当某点附近的函数值采用泰勒展开式作近似表达时，研究该点邻域的极值问题需要分析二次型函数是否正定。当对任何非零向量x使则二次型函数正定，G为正定矩阵二、优

6、化求解的数学基础对于一般二次函数矩阵有正定和负定之分。对于所有非零向量：（1）若有，则称矩阵是正定的；（2）若有，则称矩阵是半正定的；（3）若有，则称矩阵是负定的；（4）若有，则称矩阵是半负定的；（5）若有，则称矩阵是不定的二、优化求解的数学基础可以证明，正定二次函数具有以下性质：（1）正定二次函数的等值线或等值面是一簇同心圆或同心椭球。椭圆簇或椭球簇的中心就是该二次函数的极小点。（2）非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。二、优化求解的数学基础（五）无约束优化问题的极值条件二次函数f(x1,x2)在x0取得极值的必要条件为充分条件为：该点

7、处海赛矩阵正定，即二、优化求解的数学基础正定：各阶主子式均大于零。《现代设计方法概论》课程教案（六）下降迭代算法及其收敛性无约束最优化问题求优过程的求解方法大致分为两类。（1）解析法Hessian矩阵正定极小值点Hessian矩阵负定极大值点二、优化求解的数学基础《现代设计方法概论》课程教案（2）数值迭代计算（六）下降迭代算法及其收敛性二、优化求解的数学基础三、优化设计的迭代计算（一）优化问题的求解方法1、优化问题的本质优化问题的本质求极值的数学问题。2、优化问题的求解方法理论上解析法数值计算法即应用极值理论求解能求解吗？由于实际优化数学模型的目标函数及约束函数

8、往往是非线性的解析法求解