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1、诚信是做人之鑿1变换、初等分块列变换。下面称为初等变换:十.研究创新题（50分）。I:（1）请给出分块矩阵的初等变换的定义。I:（2）根据上面的定义，说明分块矩阵初等变换的应用。丄解：加类比矩阵的初等变换我们将分块矩阵的初等变换分为：初等分块行专业一.分块矩阵初等变换的定义:1.调换两行或两列;2.将一个矩阵A的某一行或某一列左（右）乘矩阵B（注意：此时3・B应为一可逆矩阵）;将一个矩阵A的某一行或某一列左（右）乘矩阵B（注意：此时B应为一非零矩阵）对应加到矩阵的另一行或列上;EZ:丹°〕O:V1>•将单位分
2、块矩阵L°仗」［二、分块矩阵初等变换的应用得到三种分块初等矩阵进行初等变换得到的oEf)01•交换得到:2.将单位分块矩阵左（右）乘以矩阵P得到:P0e201m_0En_■0P:3•将单位分块矩阵的某一行或某一列乘以矩阵P加至另一行或列得到:p~~Em0_0En_PEn_［证明:I11Eo-「0E：:1•将单位分块矩阵上下两行互换得Em0:2.将单位分块矩阵I0_~PEm0_T~po-00EfJ__0E-:Em0；同理：将下一行乘以矩阵P得：卩I:3•将单位分块矩阵0_'Em0T~Em0_0En_2PEmP
3、EfllP同理：将下一行乘以矩阵P加至上一行得：L°显然可知：上述分块矩阵的逆矩阵均存在。:v2＞应用示例：:1.（参考线性代数教材P63）类比矩阵的初等变换：:分块矩阵A可逆的充要条件是：A：E；如果A：B,分块矩阵A经过一系列分块矩阵初等变换，变为B:则有可逆分块矩阵P使PA=B.诚信是做人之鑿专业_ABIEw0■PabEo11賊CD10L1■Z0D-CA_1S-GA'1E.E八E”为单位分块矩阵。2「AB0■「ABEm0I0P-少E.:>0E”-P^CA'1p-'E”nn>0E„-P^CA'1P'1~0
4、A-1'0B0O'AO'-1_A-10~CB-fi-'CA'1B'_（2）・将上述结论中B二0,D二B可得（PA=Rr由于PA=BO_,OP（A，E）=（B，P）O（A,E）〜（B,P）,因此,[PE二P对分块矩阵（A,E）作分块矩阵的初等变换，那么，当A变成B时，E就变为P。设：W二::A、B、C、D、W均为可逆矩阵，求W的逆矩阵。则W的逆矩阵为A'1+A^BP^CA^-A^BP'1P'1例1・（参考线性代数教材P56,T27）设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求(2).(1)・解：（1）•将上述结论中A=O
5、,D=O,B代换为A,C换为B可得例2・（参考线性代数教材P56,T28）求以下矩阵的逆矩阵：:(1)・2'01：00「80032(2).11■70；02:0・+・1；82"解：(1)•按照以上分块方法依次分为A,B，C,D,其中B、C为O矩:阵「AO',则「A0-1*0'0B0B0B'],可得结果为1-200-2500002-500-38:下面为maple6.0软件验证9曲帯厂®1[5T1glTbl的1曰日囹ER冋①囹>with(linalg):Y:・array(((5,2r0,0)r(2,1,0f0]f(
6、0,0,8,3],[0t0r5,2]));52002100}:■0083.0052>inverse(Y):1-2002500002-300&mmezlB为0矩阵,:(2)•将矩阵分为A,B,C,D四块,:原矩阵的逆矩阵可化为：11210212008100341000-1/21/200-1/2-1/61/301/8-5/24-1/121/4AO'-1'A-10'CBB诚信是做人之鑿?・分块矩阵的初等变换与矩阵行列式的应用设：求阿专业AAB_CD/0D—CA-BD-CA~]BBD—CA—'B□a
7、*
8、例：(参考
9、线性代数教材P66)2-1求矩阵M二03003-2的行列式的值42-1i3I03
10、-2
11、M
12、=
13、00i4
14、=24：3・:秩的性质。Ii1・R(A)+R(B)二R(明显能使c为0矩阵可以简化计算。(参考广义逆矩阵的理论与方法)利用分块矩阵的初等变换证明矩阵AB0B:例：(参考线性代数教材P70性质六)利用分块矩阵的初等变换证明性质：AR(A+B)15、块矩阵的初等变换在简化矩阵运算上有很大的帮助，在本次研究创:新题中我们主要研究了分块矩阵在求逆矩阵的应用以及分块矩阵证明矩1阵的秩方面的应用，我们还使用数学软件进行验证准确性！主要参考了:同济大学第五版线性代数以及广义逆矩阵的理论与方法，充分的证明了:分块矩阵的初等变换的重要性。I
