高三直线和圆锥曲线的位置关系

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1、辅导讲义学员编号:学员姓名:年级：高三辅导科目：数学课时数：3学科教师：授课主题C（基本概念）T（综合分析）C（综合分析）授课日期及时段教学内容知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系（1）从儿何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.（2）从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线/的方程为Ax+By+C=O,圆锥曲线方程/（X,力=0.消元如消去y后得ax2--bx-~c=0.①若67=0,当圆锥曲线是双曲线时，直线/与双曲线的渐

2、近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线/与抛物线的对称轴平行或重合.②若aHO,设A=b2—4ac.a./乞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b./三0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c./冬0时，直线和圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题⑴斜率为£的直线与圆锥曲线交于两点戶心1小）,卩2（兀2，力），则所得弦长"

3、一曲（2）当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式）.1.圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆卡+”=1中，以

4、P&0，为)为中点的眩所在直线的斜率k=—^T^；在双曲线★一#=1中，以P(X0,yo)为中点的弦所在直线的斜率£=黒；在抛物线y2=2px(p>0)^,以P(x°,为)为中点的弦所在直线的斜率丘=眷题型一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】己知定圆/：(x+l)2+r=16，圆心为动圆M过点5(1,0)且和圆/相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.(1)求曲线C的方程;(2)若点代巾，尹o)为曲线C上一点，求证：直线/：3心+4刃)尹一12=0与曲线C有且只有一个交点.【例11⑴解圆A的圆心为力(一1,0),半径n=4,

5、设动圆M的圆心M为(x,刃，半径为尸2,依题意有『2=MB.由AB=2,可知点3在圆力内，从而圆M内切于圆故MA=ri-r2,即MA+MB=4f所以点M的轨迹22是以力，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为卡+为=1,由2a=4,2c=2,可得/=4,b2=3.22故曲线C的方程为十+牙=1.(2)证明当为=0时，由呼+晋=1,可得勺=±2.①当xo=2,沟=0时，直线/的方程为x=2,此时直线/与曲线C有且只有一个交点(2,0).②当x0=-2,y0=0时，直线/的方程为x=-2,此时直线/与曲线C有且只有一个交点(-2

6、,0).当为工0时，直线/的方程为卩=气严必，'12—3xqx消去夕，得(4y20+3x20)x2一24x(>x+48-16^20=0.(*)联立方程组，得sy=~^2214十31由点P(xo,yo)为曲线C上一点，得呼+譽=1.于是方程(*)可化简为X2—2x(>r+x20=0,解得x=x(),12—3v0v把x=x°代入方程尸4,可得7=必.—4yo故直线/与曲线C有且只有一个交点4兀0,为).综上，直线/与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(xo,尹0).总结将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方

7、程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解.2变式训练1在平面直角坐标系gy屮，经过点(0,迈)且斜率为斤的直线/与椭圆f+/=l有两个不同的交点卩和0.⑴求&的取值范围;⑵设椭圆与X轴正半轴、，轴正半轴的交点分别为力、B,是否存在常数匕使得向S.OP+OQ与M垂直?如果存在，求E值；如果不存在，请说明理由.解:(1)(-8,_¥)u俘,+8)(2)设P(x),yi)90(兀2，力)，则0P+0Q=(x

8、+x2^J;i+y2)由方程①得，兀1+兀2=—书第,y1+力=«兀1+疋)+2迄=+2迈.9：(OP+OQ)丄(xi+x2)(—y[2)+yi+y2=0,即：—黒•(—血―鶴+2迈=0.解得：k=-警,由(1)知疋＞*,与此相矛盾,所以不存在常数丘使'OP+'OQ与苏垂直.题型二圆锥曲线中的弦长问题【例2】设点3动圆P经过点F且和直线7=—号相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.(1)求曲线四的方程;(2)过点F作互相垂直的直线1,g分别交曲线W于力，3和C,D.求四边形ACBD而积的最小值.解(1)过点P作P

9、N垂直于直线尹=—号于点N,依题意得PF=PN,所以动点P的轨迹是以彳0,号)为焦点,直线尹=—专为准线的抛物线，即曲线W的方程是，=6只=kx+y(2)如图所示，依题意，直线厶，％的斜率存在且不为0,设直线厶的方程为尹由/]±/213得A的方程为y=~y+2-将y=kx+^代入#=6尹，化简得x2-6Ax-9=0,设^4(X1，尹1),B(X2,尹2),则