高考数学二轮复习限时检测提速练22大题考法__导数的综合应用

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1、限时检测提速练(二十二)大题考法——导数的综合应用A组21．(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)＝x＋alnx(x∈R)．(1)若函数f(x)在(0,2)上递减，求实数a的取值范围；(2)设h(x)＝f(x)＋

2、(a－2)x

3、，x∈[1，＋∞)，求证：h(x)≥2．(1)解：函数f(x)在(0,2)上递减??x∈(0,2),恒有f′(x)≤0成立，而f′(x)＝ax－2x22≤0??x∈(0,2),恒有a≤x成立，2当x∈(0,2)时，x＞1，所以a≤1．2(2)证明：当a≥2时，h(x)＝f(x)＋(a－2)x＝x＋alnx＋(a－2

4、)x，h′(x)＝－2≥0，所以h(x)在[1，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(1)＝a≥2，2当a＜2时，h(x)＝f(x)－(a－2)x＝x＋alnx－(a－2)x，ax－2x2＋a2－h′(x)＝ax－2xa＋2＝－ax＋x－2x＝0，2解得x＝－2－＜0或x＝1，所以函数h(x)在[1，＋∞)单调递增，a所以h(x)≥h(1)＝4－a＞2，综上所述：h(x)≥2．x22．(2018·邯郸二模)已知函数f(x)＝3e＋x，g(x)＝9x－1．x(1)求函数φ(x)＝xe＋4x－f(x)的单调区间；x(2)比较f(x)与g(x

5、)的大小，并加以证明．解：(1)φ′(x)＝(x－2)(e－2)，令φ′(x)＝0，得x1＝ln2，x2＝2；令φ′(x)＞0，得x＜ln2或x＞2；令φ′(x)＜0，得ln2＜x＜2．故φ(x)在(－∞，ln2)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)f(x)＞g(x)．证明如下：x2设h(x)＝f(x)－g(x)＝3e＋x－9x＋1，∵h′(x)＝3ex＋2x－9为增函数，∴可设h′(x0)＝0，∵h′(0)＝－6＜0，h′(1)＝3e－7＞0，∴x0∈(0,1)．当x＞x0时，h′(x)＞0；当x＜x0

6、时，h′(x)＜0．2∴h(x)min＝h(x0)＝3ex0＋x0－9x0＋1，又3ex0＋2x0－9＝0，∴3ex0＝－2x0＋9，22∴h(x)min＝－2x0＋9＋x0－9x0＋1＝x0－11x0＋10＝(x0－1)(x0－10)．∵x0∈(0,1)，∴(x0－1)(x0－10)＞0，∴h(x)min＞0，f(x)＞g(x)．13．(2018·西宁一模)设f(x)＝lnx，g(x)＝2x

7、x

8、．(1)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的单调区间；(2)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，都有m[g(x2)－g(x1

9、)]＞x2·f(x2)－x1·f(x1)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)F(x)的定义域为(0，＋∞)，12∴F(x)＝xlnx－2x，则F′(x)＝lnx＋1－x，1令G(x)＝F′(x)＝lnx＋1－x，则G′(x)＝x－1，11由G′(x)＝x－1＞0得0＜x＜1，G′(x)＝x－1＜0，得x＞1，则G(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即F′(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴F′(x)≤F′(1)＝0，∴F(x)的定义域为(0，＋∞)上单调递减．(2)据题意，当1≤x1＜x2时，m[

10、g(x2)－g(x1)]＞x2·f(x2)－x1·f(x1)恒成立，∴当1≤x1＜x2时，mg(x2)－x2·f(x2)＞mg(x1)－x1·f(x1)恒成立，12令H(x)＝mg(x)－x·f(x)，即H(x)＝则H(x)在[1，＋∞)上是增函数，mx－xlnx，2∴H′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，∴m≥lnx＋1x(x≥1)，令h(x)＝lnx＋1x(x≥1)，∴h′(x)＝1－lnx－1x2＝－lnxx2≤0，∴h(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴h(x)max＝h(1)＝1，∴m≥1．4．(2018·湖南联考)已知函

11、数f(x)＝lnx＋ax．(1)讨论函数f(x)的单调性；12121(1)当a＝1时，函数g(x)＝f(x)－x＋1－m有两个零点x，x，且x＜x.求证：x2x＋x2＞1．1解：(1)f′(x)＝x＋a，x∈(0，＋∞)，①当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a＜0时，f(x)在0，－1a上单调递增，在1－，＋∞a上单调递减．1(2)当a＝1时，g(x)＝lnx＋2x－m，由已知得：lnx1＋x112x11＝m，lnx2＋112x2＝m，x1－x2两式相减得ln＋－x22x1＝0?x1·x2＝2x2，2ln

12、x1x2∴x1＝x1x－12，x2＝x2x1－1，∴x1＋x2＝x1x2x2－x1，2lnx1x2x12lnx1x22lnx1x21x令t＝∈(0,1)，则h(t)＝t