阅读下列材料

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1、阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1,正方形ABCD屮，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE,形成四边形MNPQ.求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）.小明的做法是：先取“2,如图2,将ZSABN绕点B顺时针旋转90°至△CBN'，再将AADM绕点D逆时针旋转90°至厶CDW,得到5个小止方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是1:5；请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）取n二3,如图3,四边形MNPQ与止方形ABCD的面积比为（直接写出结果）；（2）在图4中探究，n二

2、4时四边形WQ与正方形ABCD的面积比为（在图4上画图并直接写出结杲）；（3）猜想：当E、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为（用含n的代数式表示）:（4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方中画出并指明拼接后的正方形）EGF形（在图』Hd3DC图5小明遇到这样一个问题：〃如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别鲫AE二BF二CG二DH二1,当/AFQ二zBGM二zCHN二zDEP二45。时，求正方形MNPQ的面积・"分析时，小明发现，分别延长QE,MF,N

3、G,PH交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得aRQF,aSMG,^TNH,^WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形(无缝隙不重叠)”则这个正方形的边长为(2)求正方形MNPQ的面积.(3)参考小明思考问题的方法,解决问题：如图3,在等边MBC各边上分别截取AD二BE二CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边aRPQ•若S^RPQ二3,则AD的长为.分析：（1）查出旋转后的正方形的个数是10,屮间四边形屮正方形的个数是4,然后计算即可求解；（2）根据四等分点再找出其它的等分点，仿照

4、图3的作法画出图形，然后再查出旋转后的止方形的个数是17,屮间四边形屮止方形的个数是9,然后计算即可求解；（3）根据前四个图形的数据规律，分子是序数减1,再平方，分母是序数的平方再加上1,写出即可;（4）根据面积是10,所以拼接后的正方形的边长是To，然后根据网格的特点进行剪接.解答：解:图2（1）正方形ABCD的面积是10个小正方形，四边形MNPQ是4个小正方形,・・・四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：10£:（2分）（2）如图1.（3分）正方形ABCD的面积是17个小正方形，四边形MNPQ是9个小正方形，・•・四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：_9_17;

5、（5分）（3）正方形ABCD的面积是rf+1个小正方形，四边形MNPQ是（n-1）'个小正方形,・・・四边形MNPQ与止方形ABCD的面积比为：（n-1尸n2+l;（7分）（4）如图2.（8分）设每个小止方形的面积是1,图形面积是10,所以拼接后的正方形的边长是To・・・拼接后的正方形的是正方形ABCD.（9分）试题分析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形的面积为;(2)如图2所示,正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；(3)参照小明的钥匙思路,对问题作同样的等积变形，即可求解问题.(1)a(2)・.•四个

6、等腰直角三角形aRQF,^SMGzENH,^WPE的面积和为a?,正方形ABCD的面积为aJ•'•S正方形mnpq二Saare+Sadwh+Sagct+Sasbf=4Saare=4x'xl2=2;如答图1所示，分别延长RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延长线于点S,T,W.W..答图1i由题意易得：aRSF,aQET,/DW均为底角是30。的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边长.所以aRSF,pET,"DW的面积等于MBC的面积。由此可得：Sarpq=Saads+S

7、°=二xzSD=2ND=2ADcos30°=^x,111迥「•S/ads二二SD・AN二」•桁'x・」x二」x2.•••SeRPQ二S^ADS+SaCFT+SaBEW二3S1ADS/:.3=3x4x2z得x2二解得x=3或x=-3（不合题意，舍去）/•x=3，即AD的长为3。考点：四边形综合题.