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1、矩阵分析基础第1章线性空间与线性变换在线性代数中我们已经学过线性空间和线性变换的概念，因此在本章的1.1-1.3节中仅对线性空间和线性映射的概念作简单介绍，1.4节讲解子空间的概念.1.1线性空间及其性质定义1・1设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为按所定义的运算构成F上的线性空间(简称V为F上的线性空间或向量空间)，如果(1)在V中定义了加法，使对于任意的a,pGV,存在唯一的元素yGV与之对应，称为Q与(3的和，记作a+(3=y;(2)在V中定义了数乘，使对于任意的aeV及任意XeF,存
2、在唯一的元素5WV与之对应，称为入与a的积，记作8=Xa;(3)所定义的加法与数乘合起来是线性运算，即这两种运算满足运算法则①a+B二B+a；②(a+B)+Y二a+(B+y);③在V中存在零元素，以0表示，使对于任何aeV,都有a+0二a；④对任何aeV都有BWV,使a+B二0,称B是a的负元素；⑤存在单位数1WF,使得la二a；⑥入(口a)=(Xu)a；(7)入(a+B)二入a+XB；⑧(入+ii)ci二入a+ua;其中a,P,YeV;X,uWF・数域F上的线性空间V记为V(F),V屮元素不论
3、其本来的性质为何，统称为向量.注(1)这里的向量不一定是有序数组；(2)这里的单位数1不一定是实数1,它与所定义的运算有关.例1.1次数不超过n的实系数多项式全体记为P[x]n,即P二{pnpn二anxn+anTxn-1+・・・+slx+a0,an,•••,a0eR},则P[x]n按着通常的多项式加法及数与多项式的乘法构成线性空间.这是因为P[x]算律，所以P[x]例1・2R在Rabn对于上述两种运算显然是封闭的且满足8条运n是R上的线性空间.正实数全体记作R+,即+二{a.a>0,R},+
4、中定义加法及数乘为defab,入adefa+,入GR•证明其中a,beR构成R上的线性空间.证实际上要验证10条.对加法的封闭性：对于任何a,beR+；对数乘的封闭性：对于任何XGR,aExe⑴a+对上述加法和数乘R+,有入a=aR+；b=ab=ba=ba;⑵(a.b)c二(ab)c二(ab)c二a(be)二a(be)二a(bc);⑶在R+中存在零元素1，使对任何aWR+,有a1二a•1二a;⑷对于任何aeR+,有负元素a-leR+,使aaT二aa-1=1;⑸存在单位数1eR,使1a=a1二a;
5、⑹入(ua)=Xau=(au)X=aXy二（入p）a,⑺(入+u)a=a入-+u=aXau=a入au二（入a）(Pa);⑻X(ab)=(ab)X=a入b入二（入a)(入b);其中a,b,ceR+,入，11WR.”构成R上的+对所定义的加法“〃、数乘“因此R线性空间.从这个例子可以看到，线性空间中定义的加法和数乘不一定是通常意义上的加法与数乘，只是人为地把这两种运算叫做加法与数乘.例1.3按通常的向量加法与数乘，Rn是实数域上的线性空间，cn是复数域上的线性空间，但Rn不是复数域C上的线性空间.线
6、性空间具有以下简单性质.性质1零元素唯一，负元素唯一.证事实上，设01,02均为V(F)的零元素，贝I」01=01+02=02+01=02;其次，设X1,X2均为XeV(F)的负元素，0为V(F)的零元素，则X1=X1+0二X1+(X+X2)=(X1+X)+X2二0+X2=X2.由于负元素的唯一性,可记向量X的负元素为-X.性质2设X,0,-l,leF,X,-X,0ev(F),则(1)0X二0;(2)(-l)X—X：(3)入0二0;(4)若入X=0,贝ij入二0或X=0・证因为XeV(F),有(
7、1)X+OX二1X+0X二(l+0)X二IX二X,故0X二0;(2)X+(-1)X二(1-1)X二0X二0,故(-1)X二-X;(3)入0二入(X-X)二入X-入X二(入一入)X二0X=0;(4)若入H0且XH0,贝ijX二IX二1入入X二1入QX)二1入0二0.这与XH0矛盾，故入H0与XH0不能同吋成立.定义1・2设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对V中所定义的加法和数乘两种运算构成线性空间，则称L为V的了空间.一个非空子集要满足什么条件才能够成子空间呢？因L是V的一部分，V中
8、的运算对L而言，规律①，②，⑤，⑥，⑦，⑧显然是满足的，因此只要L对所定义的两种运算封闭且满足规律③，④即可，但由线性空间的性质知，若L对运算封闭，贝惻满足规律③，④，因此有以下定理.定理1.1线性空间V的非空子集L构成线性空间的充要条件是L对于V中的运算封闭.1.2线性空间的维数、基与坐标在Rn中有了向量的坐标表示式后，对于理论分析和实际应用都很方便，为此，本节将Rn屮有关基、维数和坐标等概念推广到一般线性空间中去•首先需要定义V(F)中元素的线性相关性等概念.为了方便，以后将i二1,2,…,
