数学建模理论在解题中的运用

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1、数学建模理论在解题中的运用“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的Z-O学生通过初中的学习应该要具备这种能力，这也是中考中考核的最重要的知识点之一。在最近几年的中考中这类题型层出不穷，它们或多或少都有一些数学建模思想。下面我主要通过2005年的全国各地中考题型分析来阐述建模理论的应用。1.数学建模的理论数学建模是对科学技术领域、经济管理、生产实际等现实生活中所遇到的实际问题，利用数学的思想、方法、知识解决的过程，主要程序如下所示：实际情景实际问题数学问题/求解实际结杲检验数学结果.啦*数学结

2、杲2•建模理论的实际应用：2.1.例题：例1：小明家使用的是分时电表,按平时段（6：00-22：00）和谷时段（22：00—次日6：00）分别计费，平吋段每度电价为0.61元，谷吋段每度电价为0.30元小明将家里2005年1月至5月的平吋段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图7）,同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如表1）根据上述信息，解答下列问题：（1）计算5刀份的用电量和相应电费，将所得结果填入表1中；（2）小明家这5个月的月平均用电量为度；1月2月3月4月5月月份（4）小明预计7月份家屮用电量很大，估计7月份用电量可达5

3、00度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量.解:(1)110,53.15(2)99(3)上升，上升⑷设平时段兀度，谷时用(500-%)®0.61兀+0.3(500■兀)=2430.61x++150-0.3x=2430.3lx=93x=300,500-%=200答：平时段300度，谷时用200度2.2评析：（1）实际背景：近几年来随着科学技术的迅猛发展带来了能源的紧缺，电力能源远远不够，在这个背景下，电力部门采取了分时计费的方式，这样暂时缓解了供电紧张的局而。（2）数学问题：编制考题的老

4、师为了能够让学生的答案统一、有利于阅卷，因此他们直接将这样的实际问题口己抽象成了数学问题，并且设计了以上几个问题，学生给予解答并去检验是否符合实际。（3）设计缺陷：此类题型看是來自实际，但是学生的实际运用能力的提高相对教弱，它仍然无法测试学生的实际抽彖能力，仅仅考察了学生根据已知的数学问题，利用已学知识然后去解决问题的能力。但是一个重要的环节忽视了，那就是他们的抽彖概括能力或者说是他们发现问题的能力。当然，新教材的出现也带来了很多弥补考试中的不足，比如研究性课题的出现，让学生自己探索，自己设计问题并解决问题。再比如现在有很多小学生建模比

5、赛，数学知识比赛等等。2.3例题：例2：某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：年度2001200220032004投入技改资金Z（万元）2.5344.5产品成本，（万元/件）7.264.54（1）请你认真分析表屮数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理rfl,并求出它的解析式；(2)按照这利吱化规律，若2005年已投人技改资金5万元.①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？②如果打算在2005年把每

6、件产品成木降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元(结果精确到0.01万元)？(1)解：设其为一次函数，解析式为y=kx+b当兀=2.5时，y=7.2；当“3时，y=6.J7.2=2.5k+b[6=3k+b解得2.4,b=13.2・・・一次函数解析式为y=-2.4x+13.2把兀=4吋，y=4.5代人此函数解析式，左边H右边.・・・其不是一次函数.同理.其也不是二次函数.设其为反比例函数.解析式为y=-ox当x=2.5时，y=7.2,口J得7.2=—济军•得k=182.5・・・反比例函数是y=—o验证：当“3时，y=—=6,符合反比

7、例函数。x3同理可验证兀=4时，y=4.5,x=4.5时，y=4成立。可用反比例函数y=-表示其变化规律。(2)解：①当x=5万元时，，)=3.6。4—3.6=04(万元)，・・・生产成本每件比2004年降低0.4万元。②当y=3.2时，3.2=—ox・•・兀=5.625・•・5.625—5=0.625"63(万元)・•・还约需投入0.63万元.2.4评析：(1)此题的背景不如上题，同样与上题有类似的缺陷，不利于考察学生的抽象概括能力。（2）此题要求学生运用知识的能力非常强、耍求教高，它要求学生对一次函数、二次函数和反比例函数的表达式灵

8、活运用，同时此题最经典之处就是它用上了数学建模思想中的曲线拟合思想，并要求学生除了口己选择适当的模型之外，还耍自己去验证此模型，比如一次函数、二次函数在此题中均不符合，但是反比例函数确可以。后来又要求学生利