圆的重要 定理

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1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段【课前测试】1.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）A.20B.10C.5D.【知识点回顾】1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已

2、知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角

3、”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.8切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定

4、理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数

5、

6、（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。图

7、1解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。8图2解：由相交弦定理，得AE·BE＝CE·DE∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，，∴，即∴CE＝3cm或CE＝4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。解：∵∠P＝∠P∠PAC＝∠B，∴

8、△PAC∽△PBA，∴，∴。又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得∴，即，故应填PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。【课间谜语】经典谜语1：生在娘家青之绿叶，生在婆家黄皮寡瘦。不提便罢，一提泪水连连。经典谜语2：溪壑分离，红尘游戏，真何趣？名利犹虚，后事终难继。例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。8解：

9、∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4∴PB＝4PA又∵PC＝12cm由切割线定理，得∴∴，∴∴PB＝4×6＝24（cm）∴AB＝24－6＝18（cm）设圆心O到AB距离为dcm，由勾股定理，得故应填。例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。证明：（1）连结BE（2）。又∵，∴厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为

10、利用弦切角定理创造条件。例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。8图5求证：证明：连结BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝90°∴∠E＝∠ADB＝90°∴△ADE∽△BAD∴∴∵CD∥AB∴AD＝BC，∴例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB图6点悟：由结论AD·B