2.2.4点到直线的距离

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1、3.3.3　点到直线的距离一、选择题1．点(1，－1)到直线y＝1的距离是(　　)A.B.C．3D．2答案　D解析　d＝＝2，故选D.2．两平行线3x－4y－7＝0和6x－8y＋3＝0之间的距离为(　　)A.B．2C.D.答案　C解析　3x－4y－7＝0可化为6x－8y－14＝0，由两平行线间的距离公式可得＝.3．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)A.B．－C．－或－D．－或答案　C解析　由点到直线的距离公式可得＝，化简得

2、3a＋3

3、＝

4、6a＋4

5、，解得实数a＝－或－.故选C.4．到直线2x＋y＋1＝0的距

6、离等于的直线方程为(　　)A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0答案　D解析　根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.5．点P(2,3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为(　　)A．3，－3B．5,2C．5,1D．7,1答案　C解析　直线恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.故选C.6．

7、两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　)A．0

8、AB

9、＝5，所以0

10、．3B．2C．3D．4答案　A解析　由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3.二、填空题9．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．答案　8解析　由x2＋y2的实际意义可知，它代表直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x2＋y2)min＝2＝8.10．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．答案　－3或解析　d＝＝，由题意知＝4，即＝1，∴k＝－3或

11、k＝.11．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________．答案　x＝－3或7x＋24y－75＝0解析　(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝－.直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.三、解答题12．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．

12、解　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，∴

13、AD

14、＝，

15、BC

16、＝b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.四、探究与拓展13．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为(　　)A．6B．3C.D.答案　C解析　如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离

17、即为l1与l3之间的距离．由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离d＝＝，即点P到直线l3的距离为.14．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使

18、PA

19、＝

20、PB

21、，且点P到l的距离等于2.解　AB的中点坐标为(3，－2)，kAB＝＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0，设点P(a，b)，则P在直线x－y－5＝0上，故a－b－5＝0，又＝2，解得或故所求的点