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1、第四章欧拉图与哈密尔顿图主要内容一、欧拉图与中国邮路问题二、哈密尔顿图三、最短路问题与货郎担问题教学时数安排8学时讲授本章内容1本次课主要内容(一)、欧拉图及其性质(二)、Fleury算法(三)、中国邮路问题欧拉图与中国邮路问题21、欧拉图的概念(一)、欧拉图及其性质(1)、问题背景——欧拉与哥尼斯堡七桥问题结论：在一个点线连接的图形中，如果每个顶点关联偶数条边，并且点与点之间有路可行，则从某点出发，经过每条边一次且仅一次，可以回到出发点。3哥尼斯堡城(位于德国北部),在欧拉的生活与图论历史中扮演着非常重要角色。因为它，产生了著名的欧拉图定理，因为它，产生了图论。注：一笔
2、画----中国古老的民间游戏要求：对于一个图G,笔不离纸,一笔画成.(2)、欧拉图概念定义1对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。欧拉闭迹又称为欧拉环游，或欧拉回路。欧拉图41324132非欧拉图有欧拉迹非欧拉图无欧拉迹123442、欧拉图的性质定理1下列陈述对于非平凡连通图G是等价的：(1)G是欧拉图；(2)G的顶点度数为偶数；(3)G的边集合能划分为圈。证明:(1)→(2)由(1)，设C是欧拉图G的任一欧拉回路，v是G中任意顶点，v在环游中每出现一次，意味在G中有两条不同边与v关联，所以，在G中与v关联的边数为偶数，即v的度数为偶数
3、，由v的任意性，即证明(2)。(2)→(3)由于G是连通非平凡的且每个顶点度数为偶数，所以G中至少存在圈C1,从G中去掉C1中的边，得到G的生成5(二)、Fleury算法该算法解决了在欧拉图中求出一条具体欧拉环游的方法。方法是尽可能避割边行走。1、算法(1)、任意选择一个顶点v0,置w0=v0;8(2)、假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取边ei+1:1)、ei+1与vi+1相关联；2)、除非没有别的边可选择，否则ei+1不能是Gi=G-｛e1,e2,…,ei｝的割边。(3)、当(2)不能执行时，算法停止。例3在下
4、面欧拉图G中求一条欧拉回路。dcbafeg图Ghji9解：dcbafeg图Ghji例4某博物馆的一层布置如下图，其中边代表走廊，结点e是入口，结点g是礼品店，通过g我们可以离开博物馆。请找出从博物馆e进入，经过每个走廊恰好一次，最后从g处离开的路线。afedcbihgj10解：图中只有两个奇度顶点e和g,因此存在起点为e,终点为g的欧拉迹。为了在G中求出一条起点为e,终点为g的欧拉迹，在e和g间添加一条平行边mafedcbihgjm用Fleury算法求出欧拉环游为：emgcfabchbdhgdjiejge所以：解为：egjeijdghdbhcbafcg11例4证明：若G有
5、2k>0个奇数顶点，则存在k条边不重的迹Q1,Q2,…,Qk，使得：证明：不失一般性，只就G是连通图进行证明。设G=(n,m)是连通图。令vl，v2，…,vk,vk+1,…,v2k是G的所有奇度点。在vi与vi+k间连新边ei得图G*（1≦i≦k).则G*是欧拉图，因此，由Fleury算法得欧拉环游C.在C中删去ei（1≦i≦k).得k条边不重的迹Qi（1≦i≦k):12例5设G是非平凡的欧拉图，且v∈V(G)。证明：G的每条具有起点v的迹都能扩展成G的欧拉环游当且仅当G-v是森林。证明：“必要性”若不然，则G-v有圈C。考虑G1=G-E(G)的含有顶点v的分支H。由于G
6、是非平凡欧拉图，所以G1的每个顶点度数为偶数，从而，H是欧拉图。13H是欧拉图，所以存在欧拉环游T.对于T，把它看成v为起点和终点的一条欧拉迹，显然不能扩充为G的欧拉环游。这与条件矛盾！“充分性”若不然，设Q=(v,w)是G的一条不能扩充为G的欧拉环游的最长迹，显然v=w,且Q包含了与v关联的所有边。即Q是一条闭迹。于是，G-v包含G-Q且G-Q的每个顶点度数为偶数.于是，G-Q的非平凡分支是欧拉图，说明有圈，即G-v有圈，这与条件矛盾.14151617181920212223定理15.7定理15.82425(三)、中国邮路问题1962年，中国数学家管梅谷提出并解决了“中
7、国邮路问题”1、问题邮递员派信的街道是边赋权连通图。从邮局出发，每条街道至少行走一次，再回邮局。如何行走，使其行走的环游路程最小？如果邮路图本身是欧拉图，那么由Fleury算法，可得到他的行走路线。如果邮路图本身是非欧拉图，那么为得到行走环游，必须重复行走一些街道。于是问题转化为如何重复行走街道？262、管梅谷的结论定理2若W是图G中一条包含所有边的闭途径，则W在这样的闭途径中具有最短的长度当且仅当下列两个条件被满足：(1)每一条边最多重复经过一次；(2)在G的每一个圈上，重复经过的边的条数不超过圈长的一半。证明：“必要性”首
