（江苏专用）2018版高考数学一轮复习专题探究课1高中函数问题与导数的热点题型文

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1、专题探究课一高考中函数与导数问题的热点题型I热点训练高效训练，提于能力(建议用时：90分钟)1.(2017•南通调研)已知函数f(x)=a+y[x/(臼WR).(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数.⑴由函数f(x)=a+y[xlnx^.(e?WR)得尸令f(a)=0,得x=e~2,列表如下:X(0,e"2)e-2(e-2,+-)f(%)—0+fg极小值因此，函数的单调递增区间为@一2,+-),单调递减区间为(0,e-2).⑵由(1)可知，A^)min=/(e2)=a—2e~当a>2e_1时，

2、由f(x)Ae-2)=^—2e_1>0,得函数f(x)的零点个数为0.当日=2昇时，因为代力在(e-2,+->)上单调递增，在(0,e_彳)上单调递减,故当(0,e-2)U(e-2,+8)时,f(x)>f(e-2)=0.此吋，函数fd)的零点个数为1.当^<2e-1时，/(^)min=Ae-J)=a—2e_1<0.①当盘WO时，因为当(0,「)时，f(x)=a+y[xln所以函数f(x)在(0,e~2)±无零点；另一方面，因为代劝在(昇，+8)上单调递增，且f(e")=辺一2「<0,又e_2；?e(e-2,+-),

3、且f(e—B=々(l—2ef)>0,此时，函数fd)在@一2,+8)上有且只有一个零点.所以当臼W0时，函数/tv)零点个数为1.②当0a〈2eT时，因为代劝在(e~2,+8)上单调递增,且Al)=a>0,Ae-2)=a—2e_1<0,所以函数fd)在(e~2,+s)上有且只有1个零点；另一方面，因为代方在(0,厂')上单调递减，且代「)=臼—2「<0.Lr(——、二4又c"e(0,e-2),且丿J日—=0(当/>0时，ev>/成立),W此时，函数/•(©在(0,e-2)±有且只有1个零点，所以当0

4、，函数f(0零点个数为2.综上所述，当a>2e_1时，fd)的零点个数为0；当a=2e_1或日W0时,的零点个数为1；当0x—a.下面分两种情况讨论：①当mWO时，有尸(x)=3/—日30恒成立,所以代劝的单调递增区间为(一8

5、,+-).②当盘〉0时，令f(方=0,解得X-f)_3(—年割3皆'+7f(a)+0—0+fx)/极大值极小值当无变化时，F3,f(0的变化情况如下表:所以代方的单调递减区间为(一睜，平

6、,单调递增区间为(一8,-(2)证明因为广匕)存在极值点，又f(—2丸)=—8立+2乩¥0—b=8axo+2ax()—b=所以由(1)知日>0,且心工0・由题意,得尸(心)=3怎一曰=0,即滋=#，进而f(x)=轴一日心一方=—乎心一~Xo—b=AAb),且一2心工心,由题意及(1)知，存在唯一实数上满足/U)=/U),且屋因此

7、；n=—2ao,所以xi+2xo=0.3-(2017•南京、盐城模拟)已知函数fx)=—在x=0处的切线方程为y=xe(1)求实数已的值；(2)若对任意的用(0,2),都有代方»+2；_#成立,求实数&的取值范围;⑶若函数g(x)=lnf(x)—b的两个零点为xiy试判断g')的正负，并说明理由.解(1)由题意得尸3=刀1：,e因为函数在；v=0处的切线方程为尸=上所以尸(0)=1,解得已=1.X1⑵由题知f3=于&+2廿一£对任意圧(0,2)都成立，所以k+2x—x>0.即k>x—2/对任意(0,2)都成立，从

8、而k^O.e”oevo不等式整理可得k<~+x—2x,令g{x)=—+#—2x,XX所以0d)=J了1+2匕一1)=匕一1)6+2)=0,解得%=1,当^e(l,2)时,g'(力>0,函数g(x)在(1,2)上单调递增,同理可得函数gd)在(0,1)±单调递减.所以A

9、调递减,X}+X2>1即可.x+b=1nX,因为X],曲是函数g(x)的两个零点，所以

10、x2+b=X2、相减得^2—^i=In—,不妨令兰=》>1，则X2=tx,贝1Jtxx—x=t,即证~~InQ2,即证0(f)=lnt—2•~TT>0,t~广十1,t.zx14t—12因为0&)=[-卅12=f广+i2>0,所以0(方)在(1,+°°)上